6.6. Тензоры взаимной спектральной плотности второго порядка стационарного электромагнитного поля

6.6.1. Электрический, магнитный и смешанный тензоры взаимной спектральной плотности

Ранее мы видели, например, при обсуждении основ радиометрии (разд. 5.7) и изучении влияния корреляций источника на спектр испущенного излучения (разд. 5.8), что в некоторых случаях более естественно и более удобно использовать пространственно-частотное, а не пространственно-временное описание флуктуирующего волнового поля. Также предпочтительно использовать пространственно-частотное описание при анализе распространения света в диспергирующей среде и в некоторых других случаях, касающихся взаимодействия флуктуирующего волнового поля с веществом. Поэтому уместно обсудить пространственно-частотные аналоги некоторых результатов, касающихся пространственно-временных тензоров когерентности, которые мы только что рассмотрели.

Основными математическими величинами при пространственно-частотном описании являются так называемые матрицы взаимной спектральной плотности или, что то же самое, тензоры взаимной спектральной плотности. Они являются естественным обобщением скалярной функции взаимной спектральной плотности, с которой мы часто имели дело в предыдущих главах.

Пусть (обобщенные) фурье-образы флуктуирующих комплексных электрических и магнитных полей, соответственно, которые предполагаются стационарными и имеющими нулевое среднее. Тогда тензоры взаимной спектральной плотности могут быть введены с помощью формул [ср. (4.3.39)]

где индексы , опять обозначают декартовы компоненты, дельта функция Дирака и Каждая из четырех величин является составляющей тензора второго ранга. известны как электрический и магнитный тензоры взаимной спектральной плотности, соответственно, и называются сметанными тензорами взаимной спектральной плотности. Девять компонент каждого из этих четырех тензоров можно, конечно, представить в виде матриц известных как электрическая, магнитная или смешанная матрицы взаимной спектральной плотности, соответственно.

Согласно обобщенной теореме Винера — Хинчина [формулы (2.4.37) и (2.4.38)] каждый тензор когерентности, определенный выражениями (6.5.2), и тензор взаимной спектральной плотности образуют пару относительно преобразования Фурье:

Нижние пределы интегралов в этих формулах равны 0, а не потому что мы используем представление аналитических сигналов для полей. Выполнив обратное преобразование Фурье уравнений (6.6.2), получим

Из определяющих выражений (6.6.1а) и (6.6.1б) мы сразу же видим, что каждый тензор взаимной спектральной плотности электрического и магнитного полей удовлетворяет соотношению вида

где а означает индексы или Далее из выражений (6.6.1в) и (6.6.1г) очевидно, что также выполняется следующее соотношение, касающееся смешанных тензоров взаимной спектральной плотности,

Тензоры взаимной спектральной плотности удовлетворяют ряду условий неотрицательной определенности, которые могут быть выведены следующим образом. Начнем с очевидного неравенства

Здесь произвольные функции положения, произвольная положительная частота и произвольные положительные числа, причем Интегрирование по объему выполняется в произвольной области пространства, содержащей поле. Как и раньше, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Из неравенства (6.6.6) мы легко находим, если обратиться к (6.6.1), что

В силу того, что это неравенство выполняется для интегрирования по произвольному малому частотному диапазону, оно приводит к следующему условию неотрицательной определенности, касающемуся четырех тензоров взаимной спектральной плотности, первоначально выведенному в рамках теории квантованных электромагнитных полей (Mehta and Wolf, 1967b, прил. Ill)

Отметим два частных случая. Если в выражении (6.6.8) мы положим то получим следующее условие неотрицательной определенности, которому подчиняется электрический тензор взаимной спектральной плотности:

Аналогично, если в выражении (6.6.8) мы положим то получим соответствующее условие неотрицательной определенности, которому удовлетворяет магнитный тензор взаимной спектральной плотности:

Точно так же, как соответствующие неравенства, касающиеся тензоров когерентности второго порядка, неравенства могут быть представлены в альтернативных видах, использующих суммирование, а не интегрирование. Для того, чтобы показать это, положим

где произвольное положительное целое число, произвольные (действительные или комплексные) константы и произвольные точки внутри области, по которой проводится пространственное интегрирование в уравнении (6.6.8). Тогда мы получим из неравенств следующие условия неотрицательной определенности

Из формул (6.1.6), (6.1.7), (6.1.11) и (6.6.2) мы сразу же получим следующие выражения для средних значений плотностей электрической и магнитной энергии и среднего значения вектора Пойнтинга через тензоры взаимной спектральной плотности:

Хотя временные аргументы и появляются в левой части уравнений (6.6.16)-(6.6.18), средние величины не зависят от времени по тем же самым причинам, о которых упоминалось ранее в связи с уравнениями (6.5.13)-(6.5.15).

Явные выражения для тензоров взаимной спектральной плотности излучения абсолютно черного тела были выведены Метой и Вольфом (Mehta and Wolf, 1967с).