14.9. Свойства вероятности детектирования ...
14.9.1. Производящие функции и проблема обратного преобразования
Рассмотрев некоторые частные случаи, в которых вероятность детектирования 
принимает простой вид, вернемся теперь к общим формулам (14.8.7) или (14.8.8) и рассмотрим некоторые их свойства. В силу пуассоновской структуры распределения некоторые производящие функции легко вычисляются. Так, для характеристической функции числа фотоэлектрических импульсов 
находим
где мы воспользовались оптической теоремой эквивалентности (разд. 11.9) и обозначили характеристическую функцию детектируемой интегральной интенсивности света 
через 
Конечно, прибегая к классическому описанию, мы предполагаем, что поле является свободным, так что упорядочение по времени необязательно. Для квантовых состояний оптического поля, имеющих классический аналог, в том смысле, что функционал в фазовом пространстве 
является функционалом вероятности, можно воспользоваться (14.9.16), чтобы вывести плотность вероятности для 
из 
с помощью обратного
преобразования Фурье характеристической функции (Mandel, 1959; Wolf and Mehta, 1964). Таким образом, имеем
Для действительных x требуется, чтобы величина 
являлась комплексным числом, причем
Таким образом, плотность вероятности можно, в принципе, определить из 
с помощью характеристических функций (Mandel, 1959; Wolf and Mehta, 1964). Однако данное обратное преобразование может быть настолько чувствительным к небольшим изменениям 
что делает его непривлекательным на практике.
В качестве очевидного, даже отчасти тривиального применения (14.9.2) отметим, что если вероятность фотоэлектрического счета 
является пуассоновской, то 
таким образом,
Следовательно, 
а интегральная интенсивность света имеет определенное значение 
где а — квантовый выход, и не флуктуирует.
Вместо характеристической функции (или производящей функции моментов, если заменить величиной 
можно воспользоваться производящей функцией 
факториальных моментов 
(см. разд. 1.4.1), которая становится особенно простой для распределения вероятности, имеющего пуассоновскую структуру. Таким образом, из данного определения и из (14.8.7) следует, что
Поскольку 
при разложении в степенной ряд по 
дает факториальные моменты (пвеличины 
то после сравнения коэффициентов при в обеих частях данного уравнения 
получаем
Еще раз отметим, что фотоотсчеты имеют такое же статистическое отношение к интегральной интенсивности света, как и фотоны поля.
С другой стороны, можно вычислить производящую функцию кумулянтов (см. разд. 1.4) 
которая является логарифмом 
С помощью (14.9.16) находим (Mandel, 1959; Mandel and Wolf, 1965), что
где 
производящая функция кумулянтов выличины 
Разложение каждой части (14.9.5) в степенной ряд дает нам возможность установить связь между кумулянтами 
от 
Таким образом, получаем формулу
и, после сравнения коэффициентов при 
в обеих частях уравнения, мы находим, что
и распределения вероятностей величин 
становятся одинаковыми, что и следовало ожидать в классическом пределе. С другой стороны, когда интенсивность света очень низкая, первый член в правой части каждого уравнения является доминирующим, и мы находим, что к 
Следовательно, все кумулянты становятся равными первому, который является характерным для пуассоновского распределения. В этом пределе очень слабого поля фотоэлектрические импульсы стремятся стать независимыми друг от друга.
