7.4.2. Природа решений интегрального уравнения (7.4.7)

Для того, чтобы объяснить природу решений уравнения (7.4.7), мы разложим (неэрмитов) пропагатор в биортогональный ряд (Morse and Feshbah, 1953, с. 884-886)1.

Здесь собственные значения и собственные функции, соответственно, интегрального уравнения Фредгольма

собственные значения и собственные функции соответствующего интегрального уравнения Фредгольма, ядро которого сопряжено с а именно,

Ядро для лазерных резонаторов определено на конечной области А и является для каждого непрерывной функцией обеих пространственных переменных Известно, что для ядер такого типа существуют следующие теоремы:

(а) Каждому собственному значению уравнения (7.4.9) соответствует собственное значение уравнения (7.4.10), и

Более того, ранги (степени вырождения) одинаковы.

(б) Соответствующие собственные функции двух уравнений являются при подходящей нормировке ортонормированными в области А, т.е.

где символ Кронекера.

Подставим уравнение (7.4.8) в уравнение (7.4.7) и поменяем местами порядок интегрирования и суммирования. Тогда мы получим соотношение

где

Далее умножим обе части уравнения (7.4.13) на проинтегрируем по и воспользуемся соотношениями биортогональности (7.4.12) и выражением (7.4.14) для Тогда можно получить соотношение

из которого следует, что

Уравнение (7.4.16) означает, что либо либо Первый случай не представляет здесь интереса, потому что соответствующий член при не вносит вклада в двойную сумму в левой части уравнения (7.4.13). Другое решение означает, что собственные значения интегрального уравнения (7.4.7) равны

Мы теперь должны рассмотреть два случая.

Предположим сначала, что не вырождено в том смысле, что не существует другой пары собственных значений интегрального уравнения (7.4.9), для которой т.е. мы считаем, что

Формула (7.4.16) тогда означает, что при частной реализации

невырожденного собственного значения основного интегрального уравнения если только не Тогда разложение (7.4.13) сводится к единственному слагаемому

В силу того, что взаимная спектральная плотность является эрмитовой из выражения (7.4.20) следует, что

т. е. что

Для каждой частоты левая часть уравнения (7.4.22) является функцией только в то время как правая часть является функцией только Это возможно только, если каждая часть не зависит от пространственных переменных. Если мы обозначим каждую часть уравнения (7.4.22) как то получим, что

и при использовании этого соотношения выражение (7.4.20) принимает вид

Далее мы подставим выражение (7.4.24) в (7.4.14). Тогда получим следующее выражение для

Если мы воспользуемся соотношением биортогональности (7.4.12), то выражение (7.4.25) для сразу же сводится к

из которого следует, что

и что

Если мы воспользуемся соотношением (7.4.28) в уравнении (7.4.24), то увидим, что решения интегрального уравнения (7.4.7) задаются как

где

и если мы воспользуемся выражением (7.4.19), то легко найдем, что соответствующие собственные значения равны

Коэффициент пропорциональности в правой части уравнения (7.4.29) зависит от нормировки. Нормируем таким образом, что

Правая часть (7.4.29) может быть тогда отождествлена с разложением

Мерсера W [ср. (4.7.9)], которое теперь состоит из единственного слагаемого. Этот результат означает, что каждое решение нашего интегрального уравнения также является модой в смысле теории представления по когерентным модам статистических волновых полей, которую мы обсуждали в разд. 4.7. Физический смысл тогда может быть легко понят из следующего рассмотрения. В силу того, что представляет собой спектральную плотность моды к в точке на зеркале А, мы получаем согласно (7.4.29)

Интегрируя обе части уравнения (7.4.33) по площади зеркала А и используя выражение (7.4.32), мы получаем соотношение

Следовательно, представляет собой спектр моды, проинтегрированный по площади зеркала

А, и является мерой скорости, с которой энергия на частоте распространяется в устойчивом состоянии от зеркала А в резонансную полость.

Интегральное уравнение (7.4.9) для функций входящих в выражение (7.4.29), является в точности интегральным уравнением обычной (монохроматической) теории лазерных мод резонатора Фокса и Ли (Fox and Li, 1961) и Бойда и Гордона (Boyd and Gordon, 1961), на которую мы ссылались в начале этого раздела. Мы можем поэтому назвать функции модами Фокса — Ли, и, как видно из предыдущего анализа, они имеют более широкий смысл, чем это могло бы показаться из того способа, которым они были первоначально введены.

В силу того, что каждое решение (7.4.29) интегрального уравнения (7.4.7) для устойчивого распределения взаимной спектральной плотности на зеркале А факторизуется по отношению к пространственным переменным спектральная степень когерентности на частоте а именно,

является унимодулярной. Этот результат означает (см. разд. 4.5.3), что каждое решение (7.4.29) является взаимной спектральной плотностью распределения поля, которое полностью пространственно когерентно на частоте на всей поверхности зеркала А. Таким образом, показано, что если нет вырождения, т.е. если требование (7.4.18) удовлетворяется, то интегральное уравнение (7.4.7) приводит лишь к такому решению, которое описывает свет, являющийся пространственно полностью когерентным на любой частоте

Согласно анализу из разд. 4.5.3 факторизация взаимной спектральной плотности на произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной из двух пространственных переменных, является необходимым и достаточным условием для полной пространственной когерентности в пространственно-частотной области. Следовательно, если лазер работает на более, чем одной поперечной моде, выход не может быть пространственно полностью когерентным по поверхности зеркала, и это заключение подтверждается экспериментом (Bertolotti, Daino, Gori and Sette, 1965).

До сих пор частота оставалась несколько произвольной. Естественно предположить, что когда лазер работает в устойчивом состоянии, интегральное уравнение (7.4.7) будет справедливо для каждой частотной компоненты, которая присутствует на выходе лазера. Тогда мы получим, производя преобразование Фурье уравнения (7.4.29), что функция взаимной когерентности (4.3.40а) моды лазерного резонатора задается как

Заметим, что в отличие от комплексной степени пространственной когерентности комплексная степень когерентности в пространственно-временной области каждой моды, а именно,

не унимодулярна для всех значений своих аргументов. Действительно, за эргодичности (ср. разд. 2.2.2) оптического поля. Однако, при обычных обстоятельствах, когда много меньше, чем время когерентности света, будет, вообще говоря, отличаться от единицы на ничтожно малую величину для всех положений двух точек, заданных с помощью на зеркалах резонатора. Рассмотрим теперь кратко ситуацию, которую мы до сих пор исключали, а именно, когда

В этом случае будут существовать такие собственные значения что

Вместо уравнения (7.4.20) мы теперь получаем

где константы. Эти константы должны удовлетворять ограничению которое следует из того, что взаимная спектральная плотность является эрмитовой [см. (4.3.43)]. Диагонализуем матрицу с помощью унитарной матрицы Тогда где диагональная матрица. Мы также нормируем в соответствии с уравнением (7.4.32). Вырожденное решение (7.4.39) нашего основного интегрального уравнения (7.4.7) принимает форму разложения Мерсера

где

Из-за того, что решение (7.4.40) не факторизуется по отношению к пространственным переменным поле на зеркале А больше не является полностью когерентным.

Из уравнения (7.4.40) мы теперь получим для спектральной плотности вырожденной моды в точке зеркала А следующее выражение вместо (7.4.33)

и вместо (7.4.36) мы получаем следующее выражение для функции взаимной когерентности