12.5.1. Свойства корреляционных функций

Рассмотрим теперь некоторые свойства нормально упорядоченных корреляционных функций в полной аналогии с тем, как это было сделано в гл. 8 для классических функций. Действительно, многие свойства квантовых и классических корреляционных функций являются схожими. Проанализировав (12.5.3), мы видим, что

В силу того, что для свободного поля операторы рождения коммутируют между собой, равно, как и операторы уничтожения, следует, что

где означает любую перестановку упорядоченного набора

Когда и коллективные координаты повторяются таким образом, что то, как мы уже видели, получающаяся корреляционная функция имеет характер совместной вероятности детектирования. Из этого следует, что она должна быть вещественной и неотрицательной, т.е.

Из неравенства Шварца, примененного к операторному произведению в (12.5.3), мы можем получить неравенство

которое при сводится к известному результату

Корреляционные функции второго порядка также удовлетворяют более общему условию неотрицательной определенности, чем (12.5.8). Если мы положим, что

где произвольные комплексные числа, а произвольные параметры, и отметим, что неотрицательно определенный оператор, то тогда

Правая часть представляет собой неотрицательно определенную квадратичную форму по Следовательно, детерминант, построенный из коэффициентов также должен быть неотрицательно определенным и можно записать

При выражение (12.5.11) является частным случаем выражения (12.5.6), а при оно сводится к (12.5.8). Когда означает соотношение

и смысл выражений очень быстро усложняется с ростом числа Условие неотрицательной определенности формы (12.5.10) также должно удовлетворяться для высших корреляционных функций четного порядка. Если мы положим, что

где произвольные аргументы, то условие означает, что

При это выражение, соответственно, воспроизводит условия (12.5.6) и (12.5.7) при При выражение (12.5.13) приводит к естественному обобщению выражения (12.5.12) и структура формул становится все менее и менее очевидной при больших значениях Приведенные соотношения между квантовыми корреляционными функциями не отражают никаких особых свойств поля и все они эквивалентны соответствующим соотношениям в классической теории когерентности.

Корреляционные функции нечетного порядка, когда как правило, играют гораздо менее значимую роль, чем функции, имеющие четный порядок. Мы уже знаем, что они могут появиться в случае нелинейных сред. В разд. 12.8 мы покажем, что когда электромагнитное поле является стационарным и квазимонохроматическим, как это часто бывает на практике, корреляционные функции нечетного порядка могут обратится в нуль, если только не являются слишком большими. Доказательство этого утверждения для соответствующих классических корреляционных функций было приведено в разд. 8.3. Как в классическом, так и в квантово-механическом случаях корреляционные функции нечетного порядка обращаются в нуль для электромагнитного поля с ограниченной полосой частот, если только не выполняется соотношение

где — центральная частота, а ширина полосы частот поля. В частности, при или мы, соответственно, получаем

для стационарного поля. Квантовый смысл понятия стационарности будет обсуждаться позже, в разд. 12.8. Пока же мы можем просто думать о стационарности, как об условии, при котором все корреляционные функции являются инвариантными по отношению к смещению начала отсчета времени.

Хотя многие свойства корреляционных функций тесно связаны со свойствами корреляционных функций в классической теории, существуют некоторые свойства квантовых корреляционных функций, которые не имеют классической аналогии. Например, так как операторы нормально упорядочены, то последовательное применение операторов уничтожения справа или операторов рождения слева приведет к обращению корреляционной функции в нуль, если состояние содержит число фотонов меньшее, чем число операторов. Или, точнее,

где состояние с общим числом фотонов