16.3.2. Теорема площадей Мак-Колла и Хана

Как и в разд. 15.3, введем понятие «площади» импульса. Определим частоту Раби как и прежде, с помощью следующей формулы :

Тогда угол поворота задается импульсной площадью

Умножая обе стороны выражения (16.3.7) на и интегрируя по времени от когда импульса еще не было, до некоторого достаточно большого значения времени когда импульс уже прошел и получаем следующее выражение:

Для того, чтобы выполнить интегрирование по времени, воспользуемся первым уравнением Блоха во вращающейся системе координат, переход в которую осуществляется с помощью преобразования (16.3.5), приобретающего в данном случае вид

так что

при условии, что и что атомы первоначально (при находились в основном состоянии. Случай является предельным случаем. Но если настолько велико, что импульс уже закончился, то вектор Блоха прецессирует свободно и осциллирует с частотой Более точно, если равна нулю уже в некоторый предшествующий момент времени то из уравнений Блоха для более позднего момента времени находим

Из уравнения (16.3.9), используя выражения (16.3.10), (16.3.11) и полагая, что получим уравнение

Теперь учтем, что при функция принимает вид одного из представлений для -функции, так что второй интеграл упрощается до Кроме того, при функция становится представлением для главного значения интеграла по Коши (см. Heitler, 1954, с. 69), так что

поскольку является гладкой функцией от в окрестности Следовательно,

где является у-составляющей вектора Блоха атома, который находится в резонансе с приложенным полем. Но из (15.3.25) следует, что она непосредственно выражается через угол наклона и начальные значения Если все атомы находились в основном состоянии в момент времени то из (15.3.25) получаем

где является полной площадью импульса. Следовательно, для сравнительно больших значений времени уравнение (16.3.12) принимает вид

где

Уравнение (16.3.14) представляет собой так называемую теорему площадей Мак-Колла и Хана (McCall and Hahn, 1967, 1969), которая определяет распространение импульсной площади через среду.

Значение параметра а может быть легко установлено, если мы рассмотрим распространение слабого светового импульса малой площади А. В этом случае с хорошей степенью точности можно заменить на А, и получаем уравнение

или

Это закон Бэра для частного случая однородной, изотропной среды]. Параметр является, следовательно, константой затухания амплитуды электрического поля, т.е. а есть коэффициент поглощения интенсивности света. Обратная величина называется длиной поглощения. Важно отметить, что слабый импульс постепенно поглощается по мере своего продвижения через среду, даже в отсутствие любого диссипативного механизма. Энергия импульса просто сообщается атомам, которые остаются близкими к невозбужденному состоянию.

Рис. 16.5. Ожидаемое изменение импульсной площади или угла О по мере распространения импульса вдоль оси z (McCall and Hahn, 1967)

Рис. 16.6. Результаты измерений прозрачности при прохождении световых импульсов через рубиновый стержень (Asher and Scully, 1971)

Однако, ситуация существенно отличается в случае интенсивного светового импульса, который создает ощутимое атомное возбуждение. В частности, если импульсная площадь где то из (16.3.14) имеем и импульс распространяется через среду без какого-либо уменьшения его площади. Следовательно, среда оказывается полностью прозрачной для светового импульса, несмотря на то, что средняя частота последнего совпадает с атомной резонансной частотой. Мак-Кол и Хан назвали это явление самоиндуцированной прозрачностью. Конечно, одна теорема площадей ничего не говорит нам о форме импульса. Далее мы увидим, что импульс в общем случае деформируется и может даже делиться на отдельные составляющие импульсы.

Уравнение (16.3.14) непосредственно интегрируется, и мы находим, что

или

На рис. 16.5 показано, как импульсная площадь изменяется с расстоянием при распространении импульса вдоль z-оси для различных начальных значений импульсной площади (необязательно при Импульсы с площадью, меньшей затухают до нуля, тогда как импульсы с площадью между растут в площади до значения Аналогичные закономерности имеют место для импульсов с большими площадями. Импульсы площади и т.д. остаются неизменными по площади по мере распространения. Хотя из (16.3.14) или (16.3.17) следует, что импульсы, площади которых являются нечетно кратными также должны оставаться незатухающими, эти импульсы фактически оказываются нестабильными к любому малому возмущению, как показано на рис. 16.51.

Явление самоиндуцированной прозрачности, подразумеваемое теоремой площадей, наблюдалось Мак-Коллом и Ханом (McCall and Hahn, 1967) на импульсах от охлажденного жидким азотом лазера, распространяющихся по рубиновому стержню, охлажденному до температуры жидкого гелия. На рис. 16.6 показаны результаты некоторых более поздних измерений процесса прохождения через рубин. В этом эксперименте наблюдался довольно острый порог наступления прозрачности.