1.2.3. Теорема Байеса для апостериорных вероятностей
Из определения (1.2.12) для условной вероятности вытекают следующие два выражения
Приравнивая друг к другу оба выражения для 
мы получим следующее соотношение для взаимоисключающих событий А и В:
где в последнем выражении использована формула (1.2.5). Это соотношение известно как теорема Байеса. Если мы называем 
условной вероятностью события В относительно события А, то мы можем рассматривать 
в качестве апостериорной вероятности события А относительно события В. Тогда, согласно теореме Байеса, апостериорная вероятность определяется из прямой условной вероятности вместе с вероятностью 
. На практике эта теорема часто применяется к таким экспериментам, в которых событие А должно быть определено из измерений В, но при этом мало или ничего не известно об априорной вероятности 
Тогда некоторые предположения об априорных характеристиках 
должны быть сделаны до использования (1.2.21), и это привносит некоторый произвол в вычисления.
Проиллюстрируем проблему на простом примере. В сосуде содержится 
шаров, либо черных, либо белых, в неизвестной пропорции. Шар выбирается случайным образом и, допустим, он оказывается белым. Мы хотим определить апостериорную вероятность того, что сосуд содержал 
белых шаров изначально, в свете проведенного эксперимента. Пусть 
будет условной вероятностью того, что выбирается белый шар из сосуда, в котором 
белых шаров 
Из постановки задачи очевидно, что 
Тогда из (1.2.21) следует, что апостериорная вероятность 
того, что сосуд первоначально содержал 
белых шаров при условии, что выбран именно белый шар, определяется выражением
где 
является априорной вероятностью того, что сосуд содержит 
белых шаров. К сожалению, ничего не известно 
так что, строго говоря, выражение (1.2.22) не может быть использовано. Однако, в отсутствие дополнительной информации, если мы априори произвольно придадим равные веса всем значениям 
от 
до 
то 
и выражение (1.2.22) приводит к следующему решению:
Сделав некоторые предположения об априорных вероятностях 
мы смогли вычислить апостериорные вероятности 
И хотя нельзя найти формального обоснования для этой процедуры, тем не менее она приводит к количественным оценкам, которые часто оказываются ценными.
