21.5. Двухфотонное когерентное состояние

Как мы уже видели, двухфотонное когерентное состояние является одной из форм идеального сжатого состояния и два этих состояния связаны соотношением (21.4.5). Так как первое из этих состояний очень детально изучалось в работе Иена (Yuen, 1976), о нем известно больше, чем об идеальном сжатом состоянии, несмотря на то, что эти два состояния тесно связаны. Поэтому ниже мы будем обсуждать двухфотонные когерентные состояния несколько подробнее.

Следуя Йену (Yuen, 1976), сначала немного обобщим определение. Пусть являются операторами псевдоуничтожения и псевдорождения, определяемыми соотношениями [ср. (21.3.2)]

для двух комплексных чисел удовлетворяющих условию [ср. (21.3.5)]

Пусть есть произвольное унитарное преобразование, которое создает из . Очевидно, оператор [см. (21.3.1)] является примером такого преобразования, но более общее унитарное преобразование

где К — действительная величина и — константа, обладает этим же свойством. Показатель экспоненты имеет структуру квадратичного гамильтониана, соответствующего «двухфотонному» взаимодействию с классическим током, и содержит три свободных параметра, которые определяются комплексными числами

Обобщенное двухфотонное когерентное состояние можно определить как состояние, являющееся результатом действия на когерентное состояние т.е.

что, очевидно, соответствует выражению (21.3.8). Те же самые рассуждения, что и прежде, приводят к уравнению на собственные значения

и это уравнение представляет собой альтернативное определение состояния Термин «двухфотонное когерентное состояние», разумеется, связан с формой показателя экспоненты в (21.5.2).

Эти состояния обнаруживают некоторые из характерных свойств когерентных состояний. Например, так же как среднее значение нормально упорядоченного произведения факторизуется в когерентном состоянии, так и среднее значение нормально упорядоченного произведения операторов факторизуется в состоянии Можно показать (Yuen, 1976), что под действием гамильтониана

двухфотонное когерентное состояние переходит в другое двухфотонное когерентное состояние с другими которые, вообще говоря, изменяются во времени. Как мы видели в разд. 11.5, когерентное состояние эволюционирует в другое когерентное состояние, когда в гамильтониане. По этой причине возникло предположение, что двухфотонные когерентные состояния могут создаваться лазерами, в которых атомы испытывают двухфотонное взаимодействие в то время как когерентные состояния создаются лазерами, в которых атомный источник испытывает однофотонное взаимодействие.

Однако в отличие от когерентных состояний состояния не являются состояниями с определенной комплексной амплитудой. Обращая выражения (21.5.1а) [ср. (21.3.7)], мы получаем соотношения

Следовательно, дисперсия а определяется формулой

и всегда отлична от нуля при