16.4.1. Абсорбционная бистабильность в кольцевом резонаторе

Для демонстрации абсорбционной оптической бистабильности резонансная среда помещается между зеркалами интерферометра Фабри — Перо, настроенного на частоту атомного перехода, и через интерферометр пропускается внешний, резонансный среде, световой пучок. Следовательно, система похожа на лазер, за исключением того, что в ней нет дополнительного механизма оптической накачки. Эта схема использовалась в ранних успешных экспериментах (Gibbs, McCall and Venkatesan, 1976), если не считать того, что они больше опирались на дисперсионные свойства среды, чем на резонансное поглощение. Дисперсионная бистабильность будет кратко обсуждаться ниже, но сейчас мы сконцентрируемся на механизме поглощения. Кроме того, для простоты будем рассматривать не резонатор Фабри — Перо, а резонатор кольцевого лазера, показанный на рис. 16.10, в одном плече которого находится активная среда длины и свет распространяется в среде только в одном направлении. Монохроматическая плоская волна частоты

со и амплитуды падает на систему с одной стороны, как показано на рисунке, а волна амплитуды выходит из нее с другой стороны. Предположим, что входное и выходное зеркала имеют коэффициенты отражения по амплитуде и коэффициенты пропускания по амплитуде тогда как другие два зеркала являются абсолютно отражающими. Некоторая часть света, излучаемого средой, направляется обратно с помощью зеркал и объединяется с падающим светом.

Рис. 16.10. Геометрия системы, демонстрирующей оптическую бистабильность

Внутри активной среды распространение света описывается теми же уравнениями (16.3.7) и (16.3.8) для амплитуды и фазы поля, с которыми мы уже встречались, рассматривая самоиндуцированную прозрачность. Эти уравнения для должны быть дополнены уравнениями Блоха (15.3.19), описывающими движение атомов в поле. Для решения самосогласованной задачи сделаем в этих уравнениях два изменения. Во-первых, для упрощения расчета предположим, что неоднородное уширение является малым, так что описывает естественную лоренцеву линию, которая представляет собой узкое спектральное распределение с центром на частоте Тогда (16.3.7) и (16.3.8) принимают вид

где все обозначения имеют тот же смысл, что и в разд. показатель преломления решетки; плотность активных двухуровневых атомов. Во-вторых, введем в уравнения Блоха (15.3.19) феноменологические релаксационные члены. В гл. 15 было показано, что полу классические уравнения Блоха не объясняют спонтанное атомное излучение в отсутствии внешнего поля. Однако когда поле квантовано, установлено, что которые связаны с дипольным моментом, спадают экспоненциально до нуля со скоростью (половина коэффициента Эйнштейна А), в то время как которая пропорциональна атомной энергии, спадает экспоненциально до нуля со скоростью и (15.5.29)]. Эти особенности атомного движения иногда вносятся искусственно в полуклассическую трактовку путем добавления феноменологических релаксационных членов в уравнения Блоха. Таким образом, добавляются к первым двум уравнениям (15.3.19), соответственно, и добавляется к третьему уравнению. Тогда расширенные уравнения Блоха в случае точного резонанса принимают вид

где поле в точке z в момент времени представлено через атомную частоту Раби

и через фазу Составляющие вектора Блоха во вращающейся системе координат, конечно, также являются функциями координаты z и времени В течение любого временного интервала, более короткого по сравнению с временем спада релаксационные члены не оказывают большого влияния. Вот почему можно рассматривать прохождение коротких импульсов через среду, по крайней мере, приближенно, без введения затухания. Однако при описании стационарного поведения системы затуханием нельзя пренебрегать.

В дальнейшем мы не будем пытаться решать связанную систему уравнений Максвелла-Блоха в общем виде, а найдем только стационарное решение. В этом случае все временные производные в уравнениях можно приравнять нулю, а становятся функциями только от z.

Уравнения (16.4.2)-(16.4.6) имеют следующие стационарные решения:

из которых сразу видно, что атомные векторы Блоха не являются теперь единичными векторами для взаимодействующей квантовой системы, поскольку атомные состояния уже не являются чистыми состояниями. Кроме того, из (16.4.2) получаем в стационарном состоянии

где а является коэффициентом поглощения для интенсивности света и задается выражением (16.3.15). Если для в этой формуле воспользоваться выражением (16.4.8), то получим

Уравнение (16.4.3) в стационарном состоянии приводит к формуле

и с помощью (16.4.7) получаем

Комбинация (16.4.10) и (16.4.11) дает

что можно записать в виде дифференциального уравнения, связывающего

Это уравнение можно сразу проинтегрировать, в результате чего получаем

Из полученного выражения следует, что в частном случае, когда для всех z. Впредь мы будем концентрировать наше внимание именно на этом частном случае. Также, если является естественной лоренцевой функцией, то можно заменить на

Когда уравнение (16.4.10) можно проинтегрировать непосредственно по z, что приводит к выражению

или

Следует отметить, что обе стороны уравнения отрицательны, поскольку среда поглощает свет. В сильном поле, когда логарифмический член по будет мал по сравнению с квадратичным членом. Противоположное утверждение будет верно в случае очень слабого поля, когда

Наконец, нам необходимо связать с входной и выходной амплитудами и электрического поля. Удобно представить электрические поля с помощью соответствующих частот Раби

Анализируя (16.4.10), можно увидеть, что так что

Теперь положим в (16.4.13) и заменим выражениями (16.4.15) и (16.4.16). Тогда получим следующее соотношение между

Соотношение (16.4.17) проиллюстрировано графически на рис. 16.11 для случая и для различных значений поглощения, измеренного в единицах Видно, что если не слишком мало, то небольшой входной сигнал вызывает появление очень слабого выходного сигнала, поскольку среда является сильно поглощающей. С другой стороны, достаточно большой входной сигнал приводит к сигналу, амплитуда которого сравнима с амплитудой сигнала на входе, потому что поглощающая среда оказывается, в конечном счете, насыщенной. Наиболее интересное поведение наблюдается в промежуточной области, где наклон может стать отрицательным, если не слишком мало, и существуют несколько возможных значений на выходе для данного значения на входе. На практике, области отрицательного наклона нестабильны, так что система переключается скачком от одной ветви кривой к другой. Например, предположим, что мы начинаем с весьма небольшого значения на входе которое постепенно увеличивается. Когда система достигает точки А на рис. 16.11, значение на выходе скачком меняется до более высокого значения, представленного точкой В и система после этого следует вдоль верхней ветви кривой, если значение на входе продолжает возрастать. Если же теперь значение на входе постепенно уменьшается, то система следует по верхней ветви кривой мимо точки В к точке С, в которой происходит скачок значения на выходе к более низкому значению, представленному точкой Дальнейшее уменьшение входного значения приводит к тому, что система следует вдоль нижней ветви кривой. Следовательно, система демонстрирует гистерезис и бистабильность, что наблюдалось экспериментально (McCall, 1974).

Необходимо отметить, что как резонансно поглощающая среда, так и оптическая обратная связь необходимы для формирования бистабильности в этом случае. Если мы освободимся от среды, полагая то (16.4.17) тогда приводит к Это соотношение проиллюстрировано на рис. 16.11 пунктирной линией. С другой стороны, если мы освободимся от зеркал обратной связи и положим то (16.4.17) упрощается до соотношения типа (16.4.13), которое подразумевает монотонное соотношение между Тогда опять не будет бистабильности. Это противоположно ситуации, в которой поглотитель сконцентрирован в точке, когда отклик несомненно бистабилен даже в отсутствии резонатора (Walls, Drummond, Hassan, Carmichael, 1978; Bowden, Sung, 1979). В общем случае, когда имеется минимальное значение порядка 1, если ниже которого бистабильность отсутствует. При определенных условиях верхняя область кривой между точками на рис. 16.11 также может быть нестабильной в том смысле, что может возникнуть режим самопульсаций на выходе (Bonifacio, Lugiato, 1978а, b, с).

Когда коэффициент пропускания зеркала является достаточно мал, так что логарифмическую функцию можно разложить в ряд по и ограничится членом первого порядка, и если также мало, и можно положить то (16.4.17) упрощается до

или

которое имеет ту же самую общую форму, что и (16.4.1). Это уравнение также демонстрирует бистабильность, если С превышает 8. Параметр С иногда называют параметром кооперативности.

Этот простой полуклассический анализ пренебрегает квантовыми флуктуациями системы, которые становятся особенно важными в окрестности бистабильности. В действительности, они в общем случае вынуждают систему переключаться где-то между точками и между а не точно там, где указано на рис. 16.11. Можно показать в рамках полностью квантового рассмотрения (Bonifacio and Lugiato, 1978а; Narducci, Gilmore, Da Hsuan Feng and Agarwal, 1978), что большие полевые флуктуации появляются в критической области переключения и что выходящий свет имеет некогерентную составляющую, спектральная плотность которой изменяется коренным образом по мере прохождения бистабильного цикла. Спектр становится много уже, чем спектр естественно уширенной линии в точке на рис. 16.11. Он уширяется по мере продвижения к точке А и становится трехгорбым в точке В. В точке С он снова становится одногорбым, но имеет ширину, существенно превышающую естественную ширину линии. Эти изменения спектра отражают фундаментальные изменения в механизме излучения. Около точки В и выше, где поглощающая среда близка к насыщению, каждый атом излучает более или менее независимо в резонансном вынуждающем поле. Поэтому, можно ожидать трехгорбый спектр, характерный для спонтанного излучения в когерентном поле (ср. рис. 15.10). Однако около точки С вынуждающее поле не является достаточно сильным, чтобы преодолеть взаимодействие между атомами, и система излучает в кооперативном или сверхизлучательном режиме, который будет обсуждаться в разд. 16.6. Это характеризуется уширением линии излучения. В области между сильное поглощение резонансной средой вызывает сужение спектра проходящего через нее света по сравнению с естественно уширенной линией. Это еще раз показывает, что переключение, которое происходит в области бистабильности, соответствует переходам между кооперативным и некооперативным процессами излучения.

Один из способов проверки теории абсорбционной бистабильности состоит в том, чтобы измерить интенсивности света соответствующие точкам на рис. 16.11, где имеет место переключение из одного состояния в другое. Это было сделано в экспериментах (Orozco, Kimble and Rosenberger, 1987), в ходе которых были получены как функции параметра кооперативности С. Некоторые из их результатов показаны на рис. 16.12 вместе с теоретическими кривыми. Видно, что имеется хорошее согласие теории и эксперимента.

Рис. 16.11. Отношение между входной и выходной амплитудами Каждая кривая соответствует определенному значению

Рис. 16.12. Сравнение экспериментальных и теоретических результатов для двух значений интенсивности (квадраты) и (ромбы) в точках переключения как функций параметра кооперативности С (Orozco, Kimble and Rosenberger, 1987)