12.8.2. Условие для оператора плотности

Часто бывает очень удобно сразу определить, является ли поле, описываемое данным оператором плотности стационарным или нет. Очевидно, что для стационарного поля является диагональным в энергетическом представлении. Это положение можно элементарно представить в виде условия для матричных элементов оператора в фоковском представлении. Если мы положим

и обозначим собственные значения энергии, принадлежащие состояниям через соответственно, то мы можем записать

Так как фоковские состояния ортогональны, каждый коэффициент в этом разложении должен по отдельности обращаться в нуль, и мы имеем условие

Из этого следует, что все матричные элементы относящиеся к фоковским состояниям с неравными энергиями, должны обращаться в нуль для стационарного поля. Непосредственным выводом из этого результата является утверждение, что оператор плотности, диагональный в фоковском представлении, соответствует стационарному полю.

Сложнее выразить условие стационарности для весового функционала используя представление, диагональное по когерентным состояниям. Тем не менее, существует одна форма которая довольно часто встречается на практике и которой достаточно, чтобы гарантировать стационарность. Рассмотрим поле, для которого весовой функционал зависит только от набора модулей а не от фаз набора комплексных чисел В разд. 12.5 мы уже показали, что спектральные плотности, связанные с таким полем, обращаются в нуль, за исключением слагаемых, содержащих повторяющиеся индексы. Вычислим теперь коммутатор от и оператора числа частиц для некоторой моды После записи в диагональном представлении и выражения проекционного оператора по когерентным состояниям 1 через фоковские состояния, мы находим, что

Коммутатор под знаком интеграла обращается в нуль, когда С другой стороны, полагая и выполняя интегрирование по в, мы сразу видим, что интеграл по в обращается в нуль в тех случаях, когда Следовательно, правая часть всегда равна нулю, из чего следует, что

и что является диагональным в фоковском представлении. Таким образом, оператор плотности представляет стационарное поле всегда, когда зависит только от набора модулей И мы, таким образом, нашли условие, которое является достаточным, хотя и не необходимым, для стационарности. В следующей главе мы увидим, что операторы плотности, имеющие такой общий вид, являются довольно распространенными.