12.7.3. Оператор плотности для поля
Теперь мы посмотрим, что означает условие когерентности второго порядка (12.7.1) для состояния электромагнитного поля. Начнем с простых примеров полей, обладающих когерентностью второго порядка, а затем покажем, что обобщение этих примеров приводит к интересной классификации поля, в соответствии с которой в нем присутствует только один тип возбуждения (ср. также разд. 4.7 и 8.5.2). Мы исходим из тех же рассуждений, которые приведены в работах (Titulaer and Glauber, 1966).
Рассмотрим следующее состояние поля 
когда в нем имеется только один фотон типа 
Используя разложения (12.2.1) и (12.2.2) для и 
мы легко находим, что
Из этого выражения видно, что представима в виде произведения функции от 
и функции от 
что и требуется для удовлетворения условию когерентности второго порядка. Таким образом, поле, которое является вакуумным, за исключением одного фотона в одной моде, является когерентным во втором порядке.
Мы сразу можем сделать два различных обобщения этого результата. Прежде всего, рассмотрим произвольное однофотонное состояние, при котором фотон необязательно связан лишь с одной модой 
Оператор плотности для чистого однофотонного состояния данного типа задается выражением
где 
некоторая комплексная функция от 
удовлетворяющая условию
Для этого состояния
То есть действие оператора уничтожения 
на однофотонное состояние 
помимо мультипликативного множителя, приводит к образованию вакуумного состояния 
что также справедливо для 
действующего на 
Если определить
то можно переписать (12.7.19) в виде
откуда видно, что любое чистое однофотонное состояние удовлетворяет условию когерентности второго порядка. Ограничение чистого состояния здесь необходимо.
Можно сделать альтернативное обобщение (12.7.12), полагая одну 
-моду возбужденной совершенно произвольным образом, а все остальные моды — незаполненными. Оператор плотности для такого состояния имеет вид произведения
где 
произвольный оператор плотности для заполненной 
-моды в отдельности. При таком выборе 
мы находим для корреляционной функции
Она опять представляется в виде произведения вида (12.7.21), что и требуется для когерентности второго порядка, если мы положим
Действительно, несложно видеть, что в этом случае все корреляционные функции произвольного порядка должны аналогичным образом факторизоваться. Таким образом имеем
если положить
Таким образом, поле, содержащее только одну возбужденную моду, удовлетворяет условию представления в виде произведения, хотя в общем случае множители зависят от порядка 
