1.5.3. Распределение Бозе — Эйнштейна

Когда результаты, вытекающие из определенного выше распределения Бернулли, являются неразличимыми, комбинаторный множитель в уравнении (1.5.1) не появляется, и мы имеем более простое распределение вероятности

в котором является нормировочной постоянной. Обозначим как ту, и пусть в предположении, что Тогда

где К является другой нормировочной постоянной. Суммирование по показывает, что так что

Это распределение известно как распределение Бозе — Эйнштейна. Оно описывает, например, распределение вероятности для фотонов в одной из точек фазового пространства, когда оптическое поле находится в тепловом равновесии.

Производящая функция моментов определяется по формуле

в то время как производящая функция факториальных моментов равна

Разложение в ряд по сразу же приводит к первым двум моментам

Формулы (1.5.18) показывают, что флуктуации в случае распределения Бозе — Эйнштейна больше, чем в случае распределения Пуассона с тем же средним значением, что можно рассматривать как следствие внутренней неразличимости частиц. Уравнение (1.5.18) дает возможность выразить через путем подстановки в следующей форме: