18.1.1. Условие лазерной генерации

Нетрудно прийти к более количественному, но все еще очень приближенному условию лазерной генерации с инверсной населенностью. Если имеется возбужденных атомов, то полная скорость спонтанного излучения фотонов, согласно (15.4.9), равна где А — коэффициент Эйнштейна А для рассматриваемого перехода. Это излучение охватывает различных мод резонатора, каждая из которых находится в пределах естественной ширины линии А. Зная плотность мод резонатора для двух поляризаций (ср. гл. 10), где V — объем резонатора, находим вычисление формулы (13.1.15)], что

где частота атомного перехода. В действительности, моды открытого резонатора типа Фабри — Перо не являются плоскими модами, которые использовались в гл. 10. Моды Фабри — Перо имеют более сложную структуру и рассматривались Фоксом и Ли (Fox and Li, 1961), а также другими авторами (Boyd and Gordon, 1961; Kogelnik and Li, 1966). Пока мы этим пренебрежем.

Скорость спонтанного излучения фотона в одну моду резонатора, следовательно, равна

Скорость вынужденного излучения в ту же самую моду равна скорости спонтанного излучения, умноженной на число заполнения данной моды (ср. разд. 15.4)

Можно сразу записать аналогичное выражение для скорости поглощения фотонов из моды резонатора атомами, находящимися в основном состоянии, заменив в (18.1.2) на Разность между двумя скоростями есть результирующая скорость излучения фотонов. Чтобы лазерная генерация имела место, эта скорость должна быть больше или равна скорости потери фотонов из данной моды резонатора, так что

где среднее время жизни фотона в моде резонатора, которое можно оценить, зная длину резонатора I и коэффициент отражения выходного зеркала лазера, если прохождение через зеркало является основным источником потери фотонов. В этом случае величину можно рассматривать как вероятность того, что фотон теряется всякий раз, когда он сталкивается с выходным зеркалом. Умножая эту вероятность на частоту столкновений фотона с зеркалом получаем обратное время жизни одного фотона

Из соотношений (18.1.3) и (18.1.4) получаем следующее условие для лазерной генерации в одну моду резонатора

где площадь поперечного сечения лазера и длина волны. Ясно, что чем больше коэффициент пропускания выходного зеркала, тем больше должна быть атомная инверсия необходимая для работы лазера. Эквивалентная форма условия (18.1.5), которая иногда оказывается полезной, записывается через так называемую добротность резонатора определяемую по формуле

Грубо говоря, есть мера периода, за который амплитуда генерации уменьшается в раз (в 2.718 раз). Если ввести плотности атомов в верхнем и нижнем состоянии по формуле то можно переписать условие (18.1.5) в эквивалентном виде

согласно которому атомная инверсия в кубе со стороной, равной длине волны, должна быть больше Эти условия позволяют оценить скорость оптической накачки, которая требуется для работы лазера, но их нельзя рассматривать как точные условия.

Неравенства (18.1.5) и (18.1.7), конечно, ничего не говорят о том, как развивается лазерное поле. Наиболее важные ранние работы по динамике лазера были сделаны Лэмбом (Lamb, 1964) и Хакеном (Haken, 1964) (см. также Haken and Sauermann, 1963а, b). Мы начнем с изложения подхода, использованного Лэмбом, в котором поле излучения рассматривается полностью классически.