4.4.3. Распространение корреляций от ограниченных поверхностей

Выведенные нами формулы распространения взаимной спектральной плотности и функции взаимной когерентности от плоскости являются точными решениями дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют эти функции. Можно также получить соответствующие формулы для распространения от искривленных поверхностей. Однако, их применение ограничено необходимостью определения соответствующих функций Грина, которые могут быть получены в законченном виде только для самых простых геометрических форм. Тем не менее, можно вывести приближенный закон распространения, который вполне приемлем для многих ситуаций, встречающихся на практике. Этот приближенный закон, который мы сейчас намереваемся получить, можно, в некотором смысле, рассматривать как аналог широко известного принципа Гюйгенса — Френеля для распространения монохроматического света.

Рис. 4.10. К выводу приближенных законов распространения взаимной спектральной плотности и взаимной интенсивности

Рассмотрим световую волну, распространяющуюся от некоторой оптической системы. Пусть воображаемая незамкнутая поверхность, пересекающая волну (см. рис. 4.10). Предположим, что значения одной из корреляционных функций второго порядка (функции взаимной когерентности или взаимной спектральной плотности) известны для всех пар точек на поверхности Мы хотим найти значения этой корреляционной функции для всех пар точек лежащих с той стороны поверхности куда распространяется свет.

Пусть комплексные световые возмущения в точках и пусть соответствующие спектральные амплитуды. Точнее говоря, четыре этих величины относятся к реализации стохастического процесса, характеризующего флуктуирующее поле. Предположим, что процесс является стационарным, по крайней мере, в широком смысле, а также эргодичным. В таком случае спектральные амплитуды необходимо рассматривать как обобщенные функции. Комплексные амплитуды в точках можно выразить через комплексные амплитуды во всех точках поверхности в следующем приближенном виде, который представляет собой математическое выражение принципа Гюйгенса — Френеля (Born and Wolf, 1980, разд. 8.2):

Здесь расстояния соответственно, коэффициенты наклона. Если углы дифракции на выходном зрачке достаточно малы, то приближенно можно записать

Из (4.4.22) следует, что

где Если теперь мы возьмем среднее по ансамблю от обеих частей (4.4.24) по различным реализациям, поменяем порядок операций усреднения и интегрирования в правой части полученного выражения, а также воспользуемся определением взаимной спектральной плотности (4.3.39), то в результате получим следующий закон распространения:

Полагая свет квазимонохроматическим со средней частотой из (4.4.25) можно вывести закон распространения для функции взаимной когерентности. Для этого сначала пренебрежем слабой зависимостью и от частоты, т.е. заменим эти величины значениями которые они принимают на средней частоте. Затем умножим обе части (4.4.25) на и проинтегрируем по Воспользовавшись далее соотношением (4.3.40а) между взаимной спектральной плотностью и функцией взаимной когерентности, получим в итоге искомый закон распространения:

На практике разность хода обычно мала по сравнению с длиной когерентности света, т.е. задержка в правой части (4.4.26) мала по сравнению со временем когерентности:

В этом случае из свойств представления огибающей действительных сигналов (см. разд. 3.1.2) имеем

и формула (4.4.26) приобретает вид

В более общем случае, когда область между поверхностью и точками поля не является свободным пространством, вместо (4.4.25), очевидно, будет иметь место формула

Функция в этой формуле является функцией пропускания среды, которая характеризует распространение в области вне пределов поверхности т.е. представляет собой комплексное возмущение в точке от точечного монохроматического источника с единичной «силой» и нулевой фазой, излучающего на частоте и расположенного в точке на поверхности При достаточно узкой эффективной полосе света, из (4.4.30) по аналогии с выводом выражения (4.4.29) получим следующий приближенный обобщенный закон распространения для функции взаимной когерентности: