Главная > Оптическая когерентность и квантовая оптика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

12.9. Антинормально упорядоченные корреляционные функции

До настоящего времени наше обсуждение квантовых корреляционных функций почти полностью ограничивалось рассмотрением нормально упорядоченных произведений операторов рождения и уничтожения. Такое внимание к нормальному упорядочению совершенно закономерно, ибо, как мы показали в разд. 12.2, измерения, проводимые с помощью оптических детекторов, функционирующих на основе поглощения фотонов, приводят естественным образом к нормально упорядоченным корреляционным функциям. Если бы существовали измерительные инструменты, которые вместо этого функционировали бы на основе испускания фотонов, то результаты измерений, осуществленных с помощью этих приборов, естественным образом описывались бы антинормально упорядоченными корреляционными функциями. Хотя такие приборы нечасто встречаются в лаборатории, их, несомненно, можно было бы сконструировать. Мы будем именовать их квантовыми счетчиками и изучим в данной главе некоторые их свойства. Мы узнаем, что квантовые счетчики по сравнению с фотоэлектрическими детекторами страдают некоторыми серьезными недостатками, которые делают их непривлекательными в качестве практических приборов. Тем не менее, исследование некоторых их основных свойств окажется полезным в том смысле, что это позволит лучше понять характер квантовых корреляций. В основе большей части данного материала лежит работа Манделя (Mandel, 1966b).

12.9.1. Квантовый счетчик

Рассмотрим атомную систему, имеющую структуру энергетических уровней как показано на рис. 12.5. Здесь а представляет основное состояние системы или какой-то другой конечный уровень энергии, метастабильный уровень, который излучательно связан с широкой полосой с, соответствующей короткоживущему состоянию. Мы предполагаем, что атомная система делает спонтанные излучательные переходы с

полосы с на конечный уровень а, и что энергетический скачок из с на а значительно больше перехода с на с, т.е.

Для того, чтобы действовать в качестве квантового счетчика, система сначала должна быть приготовлена в состоянии Метод приготовления, в действительности, не особо нас здесь интересует, но если над уровнем имелась бы широкая энергетическая полоса которая безызлучательно связана с то мы могли бы приготовить состояние путем оптической накачки с помощью интенсивного источника света на уровень с которого система спонтанно и безизлучательно релаксирует на уровень Как мы увидим, некоторые свойства такой представленной энергетической схемы квантового счетчика напоминают структуру энергетических уровней рубинового лазера.

Рис. 12.5. Возможная схема энергетических уровней квантового счетчика. Счетчик реагирует на частоты в диапазоне от до (Воспроизводится из работы Mandel, 1966а)

Предположим далее, что у нас есть такая система, приготовленная в метастабильном состоянии в положении и в момент времени Под влиянием внешнего электромагнитного поля произойдет заполнение мод в диапазоне частот и атомная система будет вынуждена совершить переход на более низкий уровень с, с вынужденным испусканием фотона. Таким образом, система отвечает на внешнее поле испусканием, а не поглощением фотона. Однако, для того, чтобы этот прибор работал в качестве счетчика, необходимо как-то зарегистрировать это излучение. Для этой цели служит второй нижний переход, так как состояние с, будучи очень короткоживущим, очень быстро, спонтанно вызовет переход на уровень а с излучением второго фотона более высокой частоты. Так как второй фотон можно достоверно отличить от первого, мы можем представить, что наша атомная система содержит тонкий прилегающий фотоэлектрический слой, который имеет достаточно высокий фотоэлектрический порог так, что пропускает частоты в диапазоне от до но действует как фотоэмиссионный поглотитель для второго фотона. В таком случае, комбинация атомной системы, или ряда таких атомных систем, с таким фотодетектором играет роль квантового счетчика, который функционирует на основе вынужденного излучения фотонов и регистрирует время эмиссии каждого фотона. Фотодетектор здесь играет лишь вспомогательную роль для регистрации вторичного фотона, а внешнее поле измеряется посредством вызванного перехода.

Рассуждения, схожие с теми, которые были приведены в разд. 12.2 и которые привели нас к тому, что мы отождествили оператор поглощения в конфигурационном пространстве с оператором, который наиболее точно соответствует измерению с помощью фотодетектора, теперь указывают на то, что оператор рождения фотона (12.2.2) соответствует измерению с помощью квантового счетчика в точке Тем не менее, существует несколько важных отличий между этими двумя случаями. Первое связано с тем фактом, что отклик квантового счетчика ограничен частотами в рамках конечного диапазона, который определяется частотной структурой энергетических уровней, показанных на рис. 12.5. Следовательно, в конечном нормировочном объеме квантовый счетчик связан только с конечным числом мод поля. Во-вторых, излучение фотона, в отличие от поглощения, может произойти спонтанно, или в присутствии поля вакуума, что сказывается в тех случаях, когда оператор действует на вакуумное состояние это приводит к состоянию, в котором все моды, участвующие в разложении являются частично заполненными. В связи с этим, соответствующий оператор рождения фотонов должен быть определен так, чтобы он содержал вклады только от тех мод поля, которые связаны с квантовым счетчиком и возбуждались им. Кроме того, удобно допустить, что имеет размерность плотности фотонов (см. разд. 12.3). Таким образом, мы считаем, что оператором, который соответствует

измерению поля с помощью квантового счетчика, является

где символ означает конечный набор мод, которые могут быть возбуждены квантовым счетчиком. Другие моды электромагнитного поля не играют никакой роли в измерении, и мы можем предположить, что они не заполнены.

Теперь воспользуемся теми же самыми рассуждениями, что и в разд. 12.2 , чтобы вывести дифференциальное выражение для вероятности того, что в точке за некоторый короткий временной промежуток регистрируется щелчок. Пусть квантовый счетчик подвергается действию электромагнитного поля, описываемого оператором плотности

где состояния являются произвольными, а есть вероятность состояния Тогда в картине взаимодействия, выражая через амплитуду вероятности перехода, мы имеем

где некоторая константа, характеризующая детальную конструкцию квантового счетчика. Матричный элемент представляет амплитуду вероятности перехода из состояния в некоторое конечное состояние под влиянием фотонной эмиссии а сумма по полному набору конечных состояний приводит к независимости от конечного состояния Расписывая квадрат и осуществляя суммирование по в (12.9.4), мы приходим к выражению

которое надо сравнить с (12.2.7) для вероятности фотодетектирования. Как можно увидеть, эти выражения похожи, за исключением того, что оператор в правой части теперь появляется в антинормальном порядке. Такой порядок характеризует измерение с помощью квантового счетчика, в основе которого лежит испускание фотонов. Конечно, разложение для в (12.2.7) содержит вклады от всех мод поля, а не от ограниченного набора в (12.9.2), но это не имеет особого значения, когда заполнен лишь ограниченный набор мод, поскольку незаполненные моды не вносят никакого вклада в ожидаемое значение нормально упорядоченного произведения операторов. Если чувствительная поверхность квантового счетчика нормальна к падающему свету и имеет площадь поверхности то мы можем предположить, что пропорциональна подобно тому, как было сделано в (12.3.3), записать,

где некоторое безразмерное число, которое можно определить как квантовый выход квантового счетчика.

Для того, чтобы сравнить при одинаковых условиях эффективность квантового счетчика с эффективностью фотодетектора, нам необходим коммутатор скалярного произведения Из выражения (12.9.2) и сопряженного ему, мы имеем

и, с помощью (10.2.6) и (10.3.9), получаем, что

где через мы обозначаем общее число мод, вносящих вклад в ограниченный набор Тогда (12.6.9) можно переписать в виде

где как и прежде, фотонная плотность. Сравнение этого выражения с (12.3.3) показывает, что при одном и том же состоянии поля с модами, которые незаполнены вне набора и при одинаковых квантовых выходах , квантовый счетчик будет считать с большей скоростью, чем фотоэлектрический детектор. Разница между этими двумя скоростями счета не зависит от состояния поля. Так как число мод пропорционально то в действительности, не зависит от нормировочного объема как это и должно быть для величины, имеющей физический смысл. Кроме того, из (12.9.8) является скоростью счета квантового счетчика в вакууме; таким образом, она очевидно отражает вклад, который можно приписать фотонной эмиссии при спонтанном переходе системы с уровня на уровень с. Именно данный спонтанный счет, главным образом, отличает квантовый счетчик от фотоэлектрического детектора.

Значимость скорости спонтанного счета очевидным образом зависит от относительных величин Как мы уже видели в разд. представляет собой среднее число фотонов в единице объема. Так как есть число мод в единице объема, то отношение первого члена ко второму является средним числом фотонов в моде в пределах полосы отклика детектора. Когда данное среднее число заполнения становится большим, поведение квантованного поля приближается к поведению классического поля в силу принципа соответствия и скорость спонтанного счета становится пренебрежимо малой по сравнению со скоростью стимулированного счета. В такой ситуации не существует принципиальной разницы в выборе в качестве более эффективного средства измерения квантового счетчика или фотоэлектрического детектора. Кроме того, в такой ситуации ожидаемые значения нормально и антинормально упорядоченных произведений в (12.2.7) и (12.9.5) приблизительно равны, и наше рассмотрение полевых векторов в качестве с-чисел оправдано. С другой стороны, когда среднее число заполнения фотонами моды мало, то и выход квантового счетчика, главным образом, определяется спонтанным счетом. В этом случае его скорость счета, фактически, постоянна и не зависит от состояния поля. Конечно, трудно представить, чтобы такого рода прибор пользовался широким спросом в качестве измерительного прибора в лабораториях. К сожалению, оказывается, что для света, испускаемого всеми известными тепловыми источниками, среднее число заполнения фотонами моды гораздо меньше единицы (см. разд. 13.3). Лишь тогда, когда температура источника много выше 100000 К, среднее число заполнения фотонами действительно становится заметно больше единицы. Таким образом, квантовый счетчик мало пригоден для измерения интенсивности света от теплового источника. Однако для поля, создаваемого лазером или параметрическим осциллятором, ситуация совершенно иная. Здесь среднее число заполнения фотонами моды действительно может быть очень большим, таким, что поле можно описывать классически и измерять как квантовым счетчиком, так и фотоэлектрическим детектором.

Уравнение (12.9.6) можно легко обобщить для случая различных квантовых счетчиков. Несложно видеть, что рассуждения, которые привели к (12.2.12), теперь дают

для плотности кратной совместной вероятности того, что квантовым счетчиком регистрируется фотоотсчетов в соответственно. Здесь квантовые выходы и площади облучаемых поверхностей квантовых счетчиков, которые необязательно должны быть различными. Очевидно, что измерения с помощью квантовых счетчиков соответствуют антинормально упорядоченным корреляционным функциям, так же, как измерения с помощью фотоэлектрических детекторов соответствуют нормально упорядоченным функциям. Значимость последних, по сравнению с первыми, является наглядным отражением факта большего использования фотодетекторов.

Как и в разд. 12.2, удобно ввести обозначения, которые позволяют записать корреляционную функцию (12.9.9) в сокращенном виде. В разд. 12.2 мы встречались с символом и оператором упорядочения, которые служили для нормального упорядочения, здесь мы также введем аналогичные обозначения. Будем использовать символ чтобы обозначить приведение оператора О в антинормальный порядок без учета коммутационных соотношений. Например, Как и прежде, символ не следует рассматривать как оператор, а просто как элемент обозначения. С его помощью мы можем переписать

(12.9.9) в виде

С другой стороны, можно ввести линейный оператор упорядочения (.(ср. разд. 11.10), который преобразует с-числовой функционал в антинормально упорядоченный функционал для операторов рождения и уничтожения, в соответствии с правилом

где является антинормально упорядоченным функционалом. Оператор позволяет нам выразить (12.9.9) в виде

где и т.д. представляют с-числовые интенсивности, в которых являются правыми и левыми собственными значениями операторов

Теперь вернемся к вопросу о вычислении антинормально упорядоченных корреляционных функций. Мы уже видели, что для нормально упорядоченных корреляционных функций эта проблема сводится к вычислению интеграла, содержащего только с-числовые функции. Мы можем показать, что это также справедливо и в случае антинормально упорядоченных корреляционных функций, что, вообще говоря, можно было бы ожидать из общего соотношения (11.10.9). Однако, диагональное представление по когерентным состояниям оператора плотности, которое оказалось весьма ценным для нормально упорядоченных корреляционных функций, не будет полезно здесь непосредственно. Оно позволяет записать

где как и прежде, обозначают но так как ни один из операторов в правой части этого уравнения не стоит рядом со своим левым или правым собственным состоянием, то даже после циклической перестановки эти операторы нельзя непосредственно исключить. Конечно, мы можем переставить операторы, многократно применяя коммутационные соотношения, после чего воспользоваться оптической теоремой эквивалентности, но окончательное выражение будет довольно сложным.

1
Оглавление
email@scask.ru