12.9. Антинормально упорядоченные корреляционные функции

До настоящего времени наше обсуждение квантовых корреляционных функций почти полностью ограничивалось рассмотрением нормально упорядоченных произведений операторов рождения и уничтожения. Такое внимание к нормальному упорядочению совершенно закономерно, ибо, как мы показали в разд. 12.2, измерения, проводимые с помощью оптических детекторов, функционирующих на основе поглощения фотонов, приводят естественным образом к нормально упорядоченным корреляционным функциям. Если бы существовали измерительные инструменты, которые вместо этого функционировали бы на основе испускания фотонов, то результаты измерений, осуществленных с помощью этих приборов, естественным образом описывались бы антинормально упорядоченными корреляционными функциями. Хотя такие приборы нечасто встречаются в лаборатории, их, несомненно, можно было бы сконструировать. Мы будем именовать их квантовыми счетчиками и изучим в данной главе некоторые их свойства. Мы узнаем, что квантовые счетчики по сравнению с фотоэлектрическими детекторами страдают некоторыми серьезными недостатками, которые делают их непривлекательными в качестве практических приборов. Тем не менее, исследование некоторых их основных свойств окажется полезным в том смысле, что это позволит лучше понять характер квантовых корреляций. В основе большей части данного материала лежит работа Манделя (Mandel, 1966b).

12.9.1. Квантовый счетчик

Рассмотрим атомную систему, имеющую структуру энергетических уровней как показано на рис. 12.5. Здесь а представляет основное состояние системы или какой-то другой конечный уровень энергии, метастабильный уровень, который излучательно связан с широкой полосой с, соответствующей короткоживущему состоянию. Мы предполагаем, что атомная система делает спонтанные излучательные переходы с

полосы с на конечный уровень а, и что энергетический скачок из с на а значительно больше перехода с на с, т.е.

Для того, чтобы действовать в качестве квантового счетчика, система сначала должна быть приготовлена в состоянии Метод приготовления, в действительности, не особо нас здесь интересует, но если над уровнем имелась бы широкая энергетическая полоса которая безызлучательно связана с то мы могли бы приготовить состояние путем оптической накачки с помощью интенсивного источника света на уровень с которого система спонтанно и безизлучательно релаксирует на уровень Как мы увидим, некоторые свойства такой представленной энергетической схемы квантового счетчика напоминают структуру энергетических уровней рубинового лазера.

Рис. 12.5. Возможная схема энергетических уровней квантового счетчика. Счетчик реагирует на частоты в диапазоне от до (Воспроизводится из работы Mandel, 1966а)

Предположим далее, что у нас есть такая система, приготовленная в метастабильном состоянии в положении и в момент времени Под влиянием внешнего электромагнитного поля произойдет заполнение мод в диапазоне частот и атомная система будет вынуждена совершить переход на более низкий уровень с, с вынужденным испусканием фотона. Таким образом, система отвечает на внешнее поле испусканием, а не поглощением фотона. Однако, для того, чтобы этот прибор работал в качестве счетчика, необходимо как-то зарегистрировать это излучение. Для этой цели служит второй нижний переход, так как состояние с, будучи очень короткоживущим, очень быстро, спонтанно вызовет переход на уровень а с излучением второго фотона более высокой частоты. Так как второй фотон можно достоверно отличить от первого, мы можем представить, что наша атомная система содержит тонкий прилегающий фотоэлектрический слой, который имеет достаточно высокий фотоэлектрический порог так, что пропускает частоты в диапазоне от до но действует как фотоэмиссионный поглотитель для второго фотона. В таком случае, комбинация атомной системы, или ряда таких атомных систем, с таким фотодетектором играет роль квантового счетчика, который функционирует на основе вынужденного излучения фотонов и регистрирует время эмиссии каждого фотона. Фотодетектор здесь играет лишь вспомогательную роль для регистрации вторичного фотона, а внешнее поле измеряется посредством вызванного перехода.

Рассуждения, схожие с теми, которые были приведены в разд. 12.2 и которые привели нас к тому, что мы отождествили оператор поглощения в конфигурационном пространстве с оператором, который наиболее точно соответствует измерению с помощью фотодетектора, теперь указывают на то, что оператор рождения фотона (12.2.2) соответствует измерению с помощью квантового счетчика в точке Тем не менее, существует несколько важных отличий между этими двумя случаями. Первое связано с тем фактом, что отклик квантового счетчика ограничен частотами в рамках конечного диапазона, который определяется частотной структурой энергетических уровней, показанных на рис. 12.5. Следовательно, в конечном нормировочном объеме квантовый счетчик связан только с конечным числом мод поля. Во-вторых, излучение фотона, в отличие от поглощения, может произойти спонтанно, или в присутствии поля вакуума, что сказывается в тех случаях, когда оператор действует на вакуумное состояние это приводит к состоянию, в котором все моды, участвующие в разложении являются частично заполненными. В связи с этим, соответствующий оператор рождения фотонов должен быть определен так, чтобы он содержал вклады только от тех мод поля, которые связаны с квантовым счетчиком и возбуждались им. Кроме того, удобно допустить, что имеет размерность плотности фотонов (см. разд. 12.3). Таким образом, мы считаем, что оператором, который соответствует

измерению поля с помощью квантового счетчика, является

где символ означает конечный набор мод, которые могут быть возбуждены квантовым счетчиком. Другие моды электромагнитного поля не играют никакой роли в измерении, и мы можем предположить, что они не заполнены.

Теперь воспользуемся теми же самыми рассуждениями, что и в разд. 12.2 , чтобы вывести дифференциальное выражение для вероятности того, что в точке за некоторый короткий временной промежуток регистрируется щелчок. Пусть квантовый счетчик подвергается действию электромагнитного поля, описываемого оператором плотности

где состояния являются произвольными, а есть вероятность состояния Тогда в картине взаимодействия, выражая через амплитуду вероятности перехода, мы имеем

где некоторая константа, характеризующая детальную конструкцию квантового счетчика. Матричный элемент представляет амплитуду вероятности перехода из состояния в некоторое конечное состояние под влиянием фотонной эмиссии а сумма по полному набору конечных состояний приводит к независимости от конечного состояния Расписывая квадрат и осуществляя суммирование по в (12.9.4), мы приходим к выражению

которое надо сравнить с (12.2.7) для вероятности фотодетектирования. Как можно увидеть, эти выражения похожи, за исключением того, что оператор в правой части теперь появляется в антинормальном порядке. Такой порядок характеризует измерение с помощью квантового счетчика, в основе которого лежит испускание фотонов. Конечно, разложение для в (12.2.7) содержит вклады от всех мод поля, а не от ограниченного набора в (12.9.2), но это не имеет особого значения, когда заполнен лишь ограниченный набор мод, поскольку незаполненные моды не вносят никакого вклада в ожидаемое значение нормально упорядоченного произведения операторов. Если чувствительная поверхность квантового счетчика нормальна к падающему свету и имеет площадь поверхности то мы можем предположить, что пропорциональна подобно тому, как было сделано в (12.3.3), записать,

где некоторое безразмерное число, которое можно определить как квантовый выход квантового счетчика.

Для того, чтобы сравнить при одинаковых условиях эффективность квантового счетчика с эффективностью фотодетектора, нам необходим коммутатор скалярного произведения Из выражения (12.9.2) и сопряженного ему, мы имеем

и, с помощью (10.2.6) и (10.3.9), получаем, что

где через мы обозначаем общее число мод, вносящих вклад в ограниченный набор Тогда (12.6.9) можно переписать в виде

где как и прежде, фотонная плотность. Сравнение этого выражения с (12.3.3) показывает, что при одном и том же состоянии поля с модами, которые незаполнены вне набора и при одинаковых квантовых выходах , квантовый счетчик будет считать с большей скоростью, чем фотоэлектрический детектор. Разница между этими двумя скоростями счета не зависит от состояния поля. Так как число мод пропорционально то в действительности, не зависит от нормировочного объема как это и должно быть для величины, имеющей физический смысл. Кроме того, из (12.9.8) является скоростью счета квантового счетчика в вакууме; таким образом, она очевидно отражает вклад, который можно приписать фотонной эмиссии при спонтанном переходе системы с уровня на уровень с. Именно данный спонтанный счет, главным образом, отличает квантовый счетчик от фотоэлектрического детектора.

Значимость скорости спонтанного счета очевидным образом зависит от относительных величин Как мы уже видели в разд. представляет собой среднее число фотонов в единице объема. Так как есть число мод в единице объема, то отношение первого члена ко второму является средним числом фотонов в моде в пределах полосы отклика детектора. Когда данное среднее число заполнения становится большим, поведение квантованного поля приближается к поведению классического поля в силу принципа соответствия и скорость спонтанного счета становится пренебрежимо малой по сравнению со скоростью стимулированного счета. В такой ситуации не существует принципиальной разницы в выборе в качестве более эффективного средства измерения квантового счетчика или фотоэлектрического детектора. Кроме того, в такой ситуации ожидаемые значения нормально и антинормально упорядоченных произведений в (12.2.7) и (12.9.5) приблизительно равны, и наше рассмотрение полевых векторов в качестве с-чисел оправдано. С другой стороны, когда среднее число заполнения фотонами моды мало, то и выход квантового счетчика, главным образом, определяется спонтанным счетом. В этом случае его скорость счета, фактически, постоянна и не зависит от состояния поля. Конечно, трудно представить, чтобы такого рода прибор пользовался широким спросом в качестве измерительного прибора в лабораториях. К сожалению, оказывается, что для света, испускаемого всеми известными тепловыми источниками, среднее число заполнения фотонами моды гораздо меньше единицы (см. разд. 13.3). Лишь тогда, когда температура источника много выше 100000 К, среднее число заполнения фотонами действительно становится заметно больше единицы. Таким образом, квантовый счетчик мало пригоден для измерения интенсивности света от теплового источника. Однако для поля, создаваемого лазером или параметрическим осциллятором, ситуация совершенно иная. Здесь среднее число заполнения фотонами моды действительно может быть очень большим, таким, что поле можно описывать классически и измерять как квантовым счетчиком, так и фотоэлектрическим детектором.

Уравнение (12.9.6) можно легко обобщить для случая различных квантовых счетчиков. Несложно видеть, что рассуждения, которые привели к (12.2.12), теперь дают

для плотности кратной совместной вероятности того, что квантовым счетчиком регистрируется фотоотсчетов в соответственно. Здесь квантовые выходы и площади облучаемых поверхностей квантовых счетчиков, которые необязательно должны быть различными. Очевидно, что измерения с помощью квантовых счетчиков соответствуют антинормально упорядоченным корреляционным функциям, так же, как измерения с помощью фотоэлектрических детекторов соответствуют нормально упорядоченным функциям. Значимость последних, по сравнению с первыми, является наглядным отражением факта большего использования фотодетекторов.

Как и в разд. 12.2, удобно ввести обозначения, которые позволяют записать корреляционную функцию (12.9.9) в сокращенном виде. В разд. 12.2 мы встречались с символом и оператором упорядочения, которые служили для нормального упорядочения, здесь мы также введем аналогичные обозначения. Будем использовать символ чтобы обозначить приведение оператора О в антинормальный порядок без учета коммутационных соотношений. Например, Как и прежде, символ не следует рассматривать как оператор, а просто как элемент обозначения. С его помощью мы можем переписать

(12.9.9) в виде

С другой стороны, можно ввести линейный оператор упорядочения (.(ср. разд. 11.10), который преобразует с-числовой функционал в антинормально упорядоченный функционал для операторов рождения и уничтожения, в соответствии с правилом

где является антинормально упорядоченным функционалом. Оператор позволяет нам выразить (12.9.9) в виде

где и т.д. представляют с-числовые интенсивности, в которых являются правыми и левыми собственными значениями операторов

Теперь вернемся к вопросу о вычислении антинормально упорядоченных корреляционных функций. Мы уже видели, что для нормально упорядоченных корреляционных функций эта проблема сводится к вычислению интеграла, содержащего только с-числовые функции. Мы можем показать, что это также справедливо и в случае антинормально упорядоченных корреляционных функций, что, вообще говоря, можно было бы ожидать из общего соотношения (11.10.9). Однако, диагональное представление по когерентным состояниям оператора плотности, которое оказалось весьма ценным для нормально упорядоченных корреляционных функций, не будет полезно здесь непосредственно. Оно позволяет записать

где как и прежде, обозначают но так как ни один из операторов в правой части этого уравнения не стоит рядом со своим левым или правым собственным состоянием, то даже после циклической перестановки эти операторы нельзя непосредственно исключить. Конечно, мы можем переставить операторы, многократно применяя коммутационные соотношения, после чего воспользоваться оптической теоремой эквивалентности, но окончательное выражение будет довольно сложным.