14.2.1. Применение к чистому когерентному состоянию

Теперь применим данный результат к особому случаю, когда падающее оптическое поле находится в чистом когерентном состоянии Поскольку представляет правое собственное состояние левое собственное состояние можно сразу вычислить нормально упорядоченное среднее в (14.2.18) и получить соотношение

где есть с-числовой векторный потенциал, соответствующий когерентному состоянию

Интересно сравнить данный результат в частном случае когерентного состояния с результатом, полученным в (14.2.6), если положить считая, что конечное состояние является тем же когерентным состоянием Поскольку

формула (14.2.6) дает полностью аналогичный результат для вероятности детектирования, что и (14.2.19). Другими словами, для поля в когерентном состоянии вероятность детектирования при неизменности состояния поля, равна вероятности детектирования безотносительно к конечному состоянию поля. Это означает, что с той степенью приближения, с которой мы здесь работаем, начальное состояние после детектирования остается с вероятностью единица состоянием

Несложно видеть, почему это так. Пренебрегая вакуумным вкладом и сохраняя только нормально упорядоченные члены, как в (14.2.18), мы фактически придаем особое значение членам, отвечающим сохранению энергии и соответствующим испусканию электрона, которое сопровождается поглощением фотона. Но, как мы знаем из нашего изучения когерентного состояния в гл. 11, поглощение фотона из когерентного состояния оставляет само состояние неизменным. Вот почему процесс фотоэлектрического детектирования в когерентном состоянии в течении достаточно долгого временного интервала также остается неизменным. Именно это свойство когерентного состояния делает выбор его в качестве начального состояния наиболее привлекательным во многих расчетах, содержащих поглощение фотона.

Теперь для того, чтобы вычислить интегралы по времени в (14.2.19), разложим по модам каждый из двух векторных потенциалов [ср. (14.2.4)], что приведет к появлению колебательных множителей типа и воспользуемся интегральным представлением для . В таком случае мы приходим к четырем различным двойным интегралам по времени типа

Поскольку все являются оптическими частотами, а длительность временного интервала измерения составляет, как правило, тысячи оптических периодов, то понятно, что подынтегральные выражения осциллируют вдвое быстрее оптической частоты и поэтому вносят небольшой вклад в интеграл, если только, конечно, перед и и и в экспонентах не стоят одновременно минусы. Из этого следует, что единственный значимый вклад во временные интегралы получается от члена А и вместо (14.2.19), можно записать

или, после замены имеем