15.3.1. Уравнения Блоха

Записывая последнее уравнение в матричном виде, вставляя единичный оператор (15.1.3) между и используя вышеупомянутые свойства операторов На и получаем следующие уравнения

Поскольку эти уравнения движения записаны в картине Шредингера, можно воспользоваться выражением (15.2.3) для определения составляющих вектора Блоха Тогда приходим к следующим уравнениям движения для трех составляющих

Последние иногда называют уравнениями Блоха, описывающими временную эволюцию атома при наличии взаимодействия Впервые их использовал Блох (Bloch, 1946), решая задачи ядерного магнитного резонанса. Отметим, что в отсутствие внешнего поля составляющая остается постоянной. Если умножить первое уравнение на второе на а третье на и сложить полученные выражения, то нетрудно найти, что

Таким образом, длина вектора Блоха остается постоянной в присутствии классического поля. Это означает, в частности, что если атом первоначально находился в чистом квантовом состоянии, то он будет оставаться в чистом состоянии, а если атом первоначально находился в смешанном квантовом состоянии, то он будет оставаться в смешанном состоянии. Во многих случаях удобно и достаточно предполагать, что атом первоначально находился в чистом состоянии.

Уравнения (15.3.5) имеют интересную геометрическую интерпретацию, которая была найдена Фейнманом, Верноном и Хелварсом (Feyman, Vernon and Hellwarth, 1957). Введем новый вектор со следующими составляющими

Тогда три уравнения (15.3.5) эквивалентны векторному уравнению

согласно которому движение вектора Блоха представляет собой прецессию вокруг вектора со скоростью, определяемой длиной вектора В общем случае, конечно, когда сам изменяется со временем, данная прецессия может быть очень сложной.

Если воспользоваться выражениями (15.3.1) и (15.3.2), то можно точно вычислить матричный элемент Из (15.3.1) получаем следующий результат:

Предположим, что осцилляции электрического поля центрированы на частоте близкой к так что можно записать

где медленно меняющаяся комплексная амплитуда, единичный вектор поляризации. Тогда

Это выражение и нужно подставлять в уравнения Блоха (15.3.5).

В некоторых случаях уравнения Блоха упрощаются. Например, если атомный переход есть переход типа так что можно считать, что единичные векторы), и если внешнее поле есть циркулярно поляризованная волна, распространяющаяся в направлении оси z, так что то Тогда уравнения (15.3.5) сводятся к следующим

где введено обозначение

Параметр называется частотой Раби и является мерой амплитуды зависящего от времени внешнего поля. Составляющие вектора задаваемые выражением (15.3.7), принимают, тогда, вид

С другой стороны, в случае, когда атомный переход есть переход типа так что можно считать действительным вектором, а падающий свет линейно поляризован, так что вектор также действителен, уравнения (15.3.5) принимают вид

Соответствующий вектор возникающий при записи этих уравнений движения в векторном виде (15.3.8), задается выражениями

Хотя, на первый взгляд, уравнения (15.3.14) и (15.3.15) сильно отличаются от (15.3.11) и (15.3.13), соответственно, в действительности они отличаются только вкладами некоторых антирезонансных членов. Вектор задаваемый выражением (15.3.15), можно рассматривать как сумму двух векторов один из которых задается, как и прежде, формулой (15.3.13), тогда как второй, или вспомогательный, вектор имеет составляющие и 0. Последний есть вектор, вращающийся вокруг оси z с частотой тогда как вектор Блоха вращается в противоположном направлении вокруг оси z с частотой Относительно вектора вспомогательный вектор вращается с частотой поэтому при интегрировании уравнений движения на некотором измеримом интервале времени влияние этого вектора оказывается очень малым. Таким образом, в хорошем приближении можно пренебречь этим вспомогательным вектором в результате чего опять определяется выражением (15.3.13), а уравнения движения опять принимают вид (15.3.11). Описанная процедура называется приближением вращающейся волны. Данное приближение позволяет использовать одинаковую систему уравнений в обоих случаях. Естественно, в первом случае уравнения являются точными.