18.3. Полуклассическая теория лазера с учетом шума спонтанного излучения

Хотя уравнение движения (18.2.27) описывает динамику лазерного поля, это описание имеет совершенно детерминированный характер. Оптическое поле лишено каких-либо флуктуаций, так что любые вопросы о когерентных свойствах лазерного излучения, которые существенно отличаются от свойств излучения других источников света, остаются за пределами теории. Например, уравнение (18.2.27) ничего не может сказать о спектральной ширине лазерного поля, которое в данном случае считается полностью монохроматичным, хотя конечная ширина спектра всегда наблюдается. Более того, скачкообразное образование излучения на пороге генерации, описываемое данным уравнением и проиллюстрированное на рис. 18.4, в действительности не наблюдается. Ключ к пониманию этих вопросов лежит в учете флуктуаций оптического поля, которые вызваны случайными процессами спонтанного излучения атомов. Процессы спонтанного излучения учитываются автоматически в рамках любого квантового рассмотрения лазера, например того, которое будет сделано ниже в разд. 18.4. Однако, они не появляются естественным образом в детерминированных полуклассических теориях. Тем не менее, были сделаны попытки учесть эффекты спонтанного излучения в полуклассической теории лазера путем добавления шумового члена в уравнение движения (18.2.27) (Risken, 1965, 1966; Risken and Vollmer, 1967a, b; Hempstead and Lax, 1967; Risken, 1970), которое в результате принимает вид

Здесь комплексная гауссовская случайная функция с нулевым средним значением, время корреляции которой порядка времени жизни спонтанного атомного излучения. Однако, поскольку это время жизни обычно очень короткое по сравнению со временем, в течение которого меняется амплитуда §, то мы можем упростить задачу, считая комплексным -коррелированным шумом, или белым шумом, удовлетворяющим соотношениям

Таким образом, шум является марковским (см. разд. 2.6). Значение выбирается так, чтобы соответствующим образом описывалась амплитуда флуктуаций спонтанного излучения.

Новое уравнение движения (18.3.1) есть уравнение ланжевеновского типа, в котором амплитуда поля не является больше детерминированной. Взамен этого, представляет собой случайный процесс,

с определенной плотностью вероятности которая определяется статистическими свойствами шума Теперь можно задаться вопросом о моментах и корреляционных функциях амплитуды и получить ответы, которые недоступны при решении детерминированного уравнения.