11.3.1. Свойства оператора смещения

Приведем некоторые принципиальные свойства оператора смещения, полученные Глаубером (Glauber, 1963b):

(а) Унитарное преобразование оператора а или а) приводит к комплексному смещению или соответственно. Таким образом,

Эти свойства следуют непосредственно из теоремы об операторном разложении (10.7.7), если заметить, что коммутаторы

сводятся к с-числам. В этом случае получаем

(б) Из (11.3.10) и (11.3.11) следует, что для любой функции операторов а, а), которую можно разложить в степенной ряд, выполняется соотношение

Для доказательства этого разложим функцию в степенной ряд и вставим единичный оператор между каждой парой соседних операторов. Таким образом, для типичного элемента разложения получим

откуда непосредственно следует (11.3.13).

(в) Произведение двух операторов смещения есть, с точностью до фазового множителя, другой оператор смещения, полное смещение которого равно сумме смещений сомножителей.

Для доказательства этого результата заметим, что из тождества Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа (11.3.4) следует

Поскольку является чисто мнимой величиной, множитель перед есть просто фазовый множитель. Отсюда непосредственно следует, что результатом действия оператора смещения на когерентное состояние является «смещение» последнего в состояние Так как из (11.3.14) следует, что

(г) Два различных оператора смещения ортогональны в том смысле, что

где есть сокращенное обозначение для

Для доказательства воспользуемся соотношениями (10.3.5) и (10.3.6) с тем, чтобы выразить а, а) через операторы Теперь отметим, что

где есть собственное состояние оператора Используя тождество Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа и коммутатор (10.3.1), последнее соотношение можно переписать в виде

Вспоминая, что является для состояния оператором смещения, так что получаем

Отсюда, с учетом закона умножения (11.3.14), следует формула (11.3.16). Тот же результат можно доказать более элегантно с помощью свойства полноты когерентных состояний, которое будет выведено в разд. 11.6.