10.8. Пространственно-временные коммутационные соотношения

В силу того, что неэрмитовы операторы и а не коммутируют друг с другом, операторы поля в общем случае, тоже не будут коммутировать. Мы можем вычислить любой из коммутаторов поля, которые, безусловно, будут представлять собой тензоры, с помощью разложений (10.4.38)-(10.4.40) и коммутационных соотношений (10.3.9)-(10.3.11). Таким образом, мы, например, получим

За суммой от тензорной комбинации мы обратимся к разд. 10.2.2., где было показано, что

С учетом этого результата, выражение (10.8.1) приобретает вид

Когда размер нормировочного объема становится очень большим, сумма, очевидно, может быть приближенно заменена интегралом. Из выражений (10.2.10) для компонент волнового вектора к следует, что число мод, для которых волновое число лежит в интервале приблизительно равно так что плотность мод равна Мы можем, следовательно, заменить сумму по дискретным переменным в выражении (10.8.3) интегралом по непрерывным переменным с плотностью мод в качестве весового коэффициента согласно общему правилу

Таким образом, выражение (10.8.3) принимает вид

где вторая строка получена из первой путем замены переменных к в комплексно-сопряженном члене. Мы увидим, что решение, действительно, не зависит от размера нормировочного объема что справедливо для результата, имеющего физический смысл. Нет необходимости говорить, что эта интегральная форма коммутатора была бы сразу же получена, предпочти мы интегральное разложение оператора поля разложению в ряд.

Иногда удобно представить (10.8.5) в другом виде, вводя сингулярную функцию

Переходя к сферическим координатам согласно соотношениям

и интегрируя по в и можно легко показать, что эта функция может быть также представлена в виде

где Отсюда следует, что обращается в нуль вне поверхности светового конуса С помощью этой функции коммутатор (10.8.5) можно переписать в виде

То, что равна нулю вне поверхности светового конуса, связывающего точки и (1212) 1 означает, что электрические поля в двух различных пространственно-временных точках могут быть одновременно измерены, только если эти точки не могут быть связаны световым сигналом. Если же две пространственно-временнные точки могут быть связаны подобным образом, то одно измерение может повлиять на результат другого. В частности, заметим, что электрические поля коммутируют в любых двух фиксированных точках пространства в один и тот же момент времени.

Начав с разложения в ряд (10.4.40) для магнитного поля и рассуждая аналогичным образом, можно легко показать, что магнитные поля удовлетворяют почти идентичному коммутационному соотношению

а коммутатор электрического и магнитного полей может быть записан в виде

Мы снова видим, что поля не коммутируют только в пространственно-временных точках, которые могут быть связаны световым сигналом. При этом проекции векторов на одно направление коммутируют даже в этих точках. Однако, равновременнбй коммутатор между электрическим и магнитным полями не обращается в нуль, а имеет вид

В заключение аналогичным образом определим коммутатор для векторного потенциала в кулоновской калибровке

который равен нулю при тогда как смешанный коммутатор определяется выражением

В частном случае, когда времена равны, интеграл имеет вид одного из представлений поперечной дельта-функции и можно записать

Заметим, что это выражение не равно нулю даже вне поверхности светового конуса, когда события «не соединимы». Это следствие того, что векторный потенциал не является имеющей физический смысл наблюдаемой. По аналогии находим равновременнбй коммутатор для векторного потенциала и магнитного поля

10.8.1. Уравнения движения для E и B

В заключение отметим, что коммутатор (10.8.12) позволяет упростить уравнения движения Гейзенберга для векторов электромагнитного поля Из квантованного гамильтониана поля

находим

Полученные гейзенберговские уравнения движения в точности совпадают с уравнениями Максвелла для свободного поля.