8.4. Корреляционные функции полей, подчиняющихся гауссовской статистике

Когда флуктуации поля могут быть описаны как гауссовский случайный процесс, часто говорят, что поле подчиняется гауссовской статистике. Тогда все корреляционные функции поля могут быть выражены через корреляционные функции низшего порядка с помощью теоремы моментов для таких процессов Сейчас мы кратко рассмотрим некоторые из важных формул, которые выполняются для полей этого вида.

8.4.1. Пространственно-временная область

Когда поле имеет нулевое среднее значение в каждой точке, т.е. когда

для всех из определения (8.2.3) пространственно-временной корреляционной функции и из теоремы моментов для гауссовского случайного процесса следует, что

где индексы целые числа и означает суммирование по всем возможным перестановкам индексов.

Некоторые следствия формулы (8.4.26) для случая, когда полезны на практике, и поэтому мы рассмотрим этот частный случай более подробно. Когда выражение (8.4.26) имеет вид

Положим В силу того, что согласно выражению это среднее значение интенсивности в пространственно-временной точке и в силу того, что согласно выражению формула (8.4.3) принимает вид

Если к тому же поле стационарно, то зависят от временных аргументов только через разность и мы тогда запишем

Тогда выражение (8.4.4) сводится к

где

— просто обычная (второго порядка) комплексная степень когерентности Средние величины интенсивностей теперь, конечно, не зависят от времени, потому что нами предполагалось, что поле стационарно.

Введем флуктуации интенсивностей

Тогда

Теперь учтем, что

Из (8.4.5), (8.4.8) и (8.4.9) следует, что

В частности, если и мы воспользуемся тем фактом, что то выражение (8.4.10) сводится к

где

До сих пор мы рассматривали только скалярное поле так что предыдущие формулы не могут учитывать поляризационные свойства электромагнитных полей. Сейчас мы обобщим формулу (8.4.10), чтобы включить в рассмотрение поляризационные эффекты.

Пусть представляет векторное поле, например, вектор электрического поля плоской волны, чьи статистические свойства описываются гауссовским случайным процессом с нулевым средним. Пусть компоненты представленные комплексными аналитическими сигналами, в двух взаимно ортогональных направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Тогда мгновенная интенсивность задается выражением

где Флуктуации интенсивности задаются с помощью простой формулы

где флуктуации интенсивностей двух компонент Используя (8.4.13), мы сразу же получим, что корреляция между флуктуациями интенсивности волны в любых двух пространственно-временных точках задается формулой

Формула (8.4.14) справедлива в общем случае. Теперь рассмотрим ее для частного случая, когда статистические свойства такие же, как у гауссовского случайного процесса. Тогда мы сразу же найдем с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые мы использовали раньше для скалярного поля, что каждое слагаемое под знаками суммирования в (8.4.14) задается формулой, аналогичной (8.4.10). Следовательно, выражение (8.4.14) сводится к виду

где

Выражение (8.4.15) — это требуемое обобщение выражения (8.4.10).

Хотя формула (8.4.15) имеет вид, зависящий от выбора направлений х и у, она должна быть независима от этого, потому что величина в левой части — скаляр, что легко проверить, выражая правую часть этого уравнения в несколько другой форме. Для этого заметим, что каждое слагаемое под знаком суммирования в (8.4.15) согласно (8.4.16) равно Следовательно, формула (8.4.15) может быть выражена

где

Если в качестве вектора поля выбран вектор электрического поля, то эта матрица является, очевидно, обобщением равновременной -матрицы когерентности (или поляризации) (6.2.6) и эрмитово сопряженная матрица. В силу того, что правая часть выражения (8.4.18) — это след матрицы, она в действительности не зависит от направлений

Теперь мы кратко рассмотрим некоторые частные случаи выражения (8.4.15), которые представляют практический интерес. Сначала предположим, что волна линейно поляризована, скажем, в направлении х. Тогда и выражение (8.4.15) сводится к

Эта формула находится в согласии с выражением (8.4.10) для скалярного поля, что и предполагалось.

Далее предположим, что волна полностью неполяризована. Тогда -компоненты поля некоррелированны (ср. разд. 6.3.1), т.е.

Более того, поскольку направления неполяризованной волны полностью эквивалентны, мы также получаем

Используя (8.4.21), (8.4.22) и (8.4.23) в выражении (8.4.15) и опуская индексы получим формулу

Сравнивая выражения (8.4.4) и (8.4.20), мы видим, что корреляция между флуктуациями интенсивности неполяризованной волны равна в точности половине корреляции поляризованной волны с такой же усредненной интенсивностью и с такой же степенью когерентности.

Формула (8.4.24) показывает, что, зная корреляции флуктуаций интенсивности неполяризованной, статистически стационарной волны, флуктуации которой определяются статистикой Гаусса, можно определить абсолютное значение степени когерентности волны второго порядка. Этот результат является основой для интерферометрии корреляций (или интенсивностей), которую мы будем обсуждать в разд. 9.9 и 9.10.

В качестве другого примера рассмотрим вариацию флуктуаций интенсивности частично поляризованной волны. Из общей формулы (8.4.15) при получаем, что

а поскольку нормировка коэффициентов корреляции такова, что формула (8.4.25) сводится к

Теперь можно сразу же показать, используя преобразование (6.2.33) для элементов матрицы когерентности при повороте осей х и у вокруг направления распространения волны, что оси можно выбрать таким образом, что и из выражения (6.3.26) следует, что при этих условиях величина как раз равна степени поляризации волны. Следовательно, выражение (8.4.26) можно записать в виде

где было использовано выражение (8.4.22).

8.4.2. Пространственно-частотная область

Мы видели в разд. 8.4.1, что когда флуктуации поля могут быть описаны как гауссовский случайный процесс, пространственно-временные корреляционные функции могут быть выражены через Из этого результата сразу же следует, что взаимные спектральные корреляционные функции могут быть выражены через Для того чтобы увидеть это, нам нужно лишь подставить (8.4.2) в (8.3.4), и тогда сразу же получим, что

и

В качестве примера рассмотрим случай, когда Для этого случая формула (8.4.286) принимает вид, если мы запишем вместо вместо

Если поле стационарно, можно сразу же получить из (8.4.28) и (8.4.27) соответствующие выражения для взаимных спектральных плотностей высшего порядка через плотности низшего порядка. В частном случае, когда мы, например, получим