10.11.5. Теорема Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа.
Пусть 
два оператора, которые в общем случае не коммутируют друг с другом, но коммутатор 
коммутирует как с А, так и с В, т.е.
Тогда
Эта формула известна как теорема Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа (Campbell, 1898; Baker, 1902, 1903; Hausdorff, 1906). Эта теорема может быть доказана следующим образом. Запишем
и продифференцируем обе части этого выражения по х. Тогда
и с помощью теоремы об операторном разложении (10.11.1) получаем
так как коммутаторы более высоких порядков обращаются в нуль. Поскольку 
коммутирует с 
два члена в фигурных скобках можно рассматривать как с-числа и порядок операторов не имеет значения. Но из определения 
мы также можем записать
Из сравнения выражений (10.11.27) и (10.11.28) следует, что 
коммутируют. Тогда выражение можно проинтегрировать по х как обычное дифференциальное уравнение и получить
Правильность решения можно подтвердить непосредственным дифференцированием. Подставляя выражение для 
приходим к выражению (10.11.26).
Задачи
(см. скан)
