12.11.5. Полихроматические фотоны и не локальность

Мы видели, что ожидаемое значение интенсивности света при V, задаваемом выражением (12.11.1), тесно связано с ожидаемым откликом фотодетектора в точке в момент времени Однако такая тесная взаимосвязь справедлива только для квазимонохроматического поля. Как только поле становится полихроматическим, наличие или отсутствие множителя [см. (12.2.1) и (12.2.2)] в модовом разложении поля имеет нетривиальные следствия, приводящие к тому, что, например, положительно-частотная часть электрического поля больше не является локально связанной с оператором детектирования Мы проиллюстрируем этот вопрос, рассматривая простое однофотонное состояние.

Однофотонное состояние получаемое, когда оператор рождения фотона действует на вакуумное состояние соответствует фотону, связанному с плоской волной и поэтому распределенному по всему пространству. Однако линейная суперпозиция таких состояний вида

в которой представляет любую весовую функцию, удовлетворяющую условию

соответствует фотону, который, по крайней мере, частично, локализован в пространстве. В этом случае векторная функция

представляет соответствующую волновую функцию положения фотона в пространстве в состоянии Однако, в силу линейной суперпозиции в (12.11.26), этот фотон не имеет ни определенного момента, ни определенной энергии.

Для того, чтобы показать, что задает фотонную плотность вероятности, допустим, что локальный оператор детектирования

действует на состояние Тогда с помощью коммутационных соотношений между а и мы получаем выражение

из которого сразу видно, что является проекцией состояния на локализованное однофотонное состояние Теперь учтем, что вероятность нахождения фотона в состоянии в объеме в момент времени задается ожиданием оператора (в конфигурационном пространстве) числа частиц Тогда из (12.11.2) и (12.11.29) мы имеем

что является обычным выражением для вероятности обнаружения частицы с волновой функцией внутри объема У. В этом случае интеграл имеет смысл лишь тогда, когда линейные размеры больше, чем оптические длины волн.

Однако несложно видеть, что ни энергия фотона, ни вероятность фотоэлектрического детектирования, не локализованы в одном и том же месте. Среднее значение энергии фотона равно

и с помощью (12.11.26) оно принимает вид

Вводя функцию

которую можно было бы назвать волновой функцией энергии, чтобы различить ее с и которая отличается от лишь тем, что она имеет в разложении множитель мы легко находим, что

Таким образом, играет роль плотности энергии. Но эта плотность энергии не связана локально с фотонной плотностью Действительно, из фурье-разложений для с помощью теоремы о свертке, мы находим, что они связаны через пространственную свертку

где функция разброса представляет собой трехмерный фурье-образ от т.е.

Из-за разброса, связанного с может быть отлична от нуля в точках, где равна нулю.

Строго говоря, интеграл в (12.11.35) расходится, но его можно регуляризовать, если ввести экспоненциальный множитель, определяя функцию (Amrein, 1969)

Когда или в более общем случае, всякий раз, когда она сводится к

Из (12.11.34) и (12.11.37) следует, что даже когда волновая функция местоположения строго сконцентрирована вблизи начала координат, волновая функция энергии асимптотически распределена по всему пространству как Иначе можно сказать, что когда распределение вероятности фотона строго локализовано в начале координат, распределение энергии простирается на большие расстояния и спадает как (см. также Hegerfeldt, 1974; Hegerfeldt and Ruijsenaar, 1980).

Обратимся теперь к вопросу о детектировании локализованного фотона с помощью фотоэлектрического детектора. Если электроны детектора взаимодействуют со светом через электрическое поле то можно ожидать, что вероятность фотоэлектрического детектирования будет пропорциональна среднему интенсивности электрического поля (ср. разд. 12.2), где

Но в действительности, как мы покажем в гл. 14, ситуация обычно более сложная. Тем не менее, для простоты здесь мы предположим, что вероятность детектирования пропорциональна . Теперь из (12.11.26) следует, что

где как и прежде, задается выражением (12.11.32). Таким образом, вероятность фотодетектирования пропорциональна

Отсюда следует, что данная величина имеет то же отношение, в смысле нелокальности, к вероятности распределения фотона как и распределение энергии. И вновь мы обнаруживаем, что для фотона, который локализован строго вблизи начала координат, имеется отличная от нуля вероятность (спадающая как того, что он будет обнаружен фотоэлектрическим детектором на расстоянии Из приведенных рассуждений видно, что понятие фотона, как локализованной частицы, перемещающейся со скоростью с, в определенных обстоятельствах может быть непригодным и даже ошибочным, хотя оно и приемлемо в других случаях.