10.2.2. Единичные векторы поляризации

Удобно разложить вектор на две ортогональных компоненты, которые выбираются таким образом, чтобы соотношение (10.2.11) выполнялось автоматически. Проще всего сделать это, выбрав пару ортонормированных действительных базисных векторов удовлетворяющих условиям

и положить

Базисные векторы поперечны волновому вектору к, ортонормированны и составляют вместе с вектором к правую тройку векторов. Поскольку действительный вектор, знак комплексного сопряжения во втором соотношении (10.2.15), безусловно, не является обязательным и введен для удобства в дальнейших вычислениях. Два действительных базисных вектора отвечают двум ортогональным состояниям линейной поляризации, и выражение (10.2.16) соответствует разложению амплитуды поля на две ортогональные линейные поляризации. Условия (10.2.15), наложенные нами на два базисных вектора,

фактически определяют их не однозначно, а с точностью до поворота на произвольный угол относительно волнового вектора k.

Однако, иногда полезнее разложить поле другим образом, например, на две ортогональные компоненты эллиптической поляризации. В общем случае, этим состояниям поляризации отвечают комплексные единичные базисные векторы на которые мы накладываем те же условия (10.2.15). В случае, когда является комплексным вектором, выражение (10.2.16) представляет собой более общее разложение поля на две ортогональные компоненты поляризации.

Комплексные базисные векторы несложно построить, используя действительные базисные векторы, которые мы обозначим как Представим каждую пару базисных векторов в виде матрицы-столбца

Тогда произведение любой матрицы унитарного преобразования размера для которой на матрицу-столбец в общем случае есть матрица-столбец, элементы которой представляют собой пару комплексных базисных векторов,

Более того, если исходные базисные векторы удовлетворяют условиям (10.2.15), можно легко доказать, что и новые базисные векторы также удовлетворяют этим условиям. Например, если скалярное произведение исходных матриц-столбцов есть единичная матрица,

что означает ортонормированность исходных базисных векторов, то, исходя из выражения (10.2.17а), соответствующее скалярное произведение для новых базисных векторов

есть также единичная матрица. может быть представлена в виде

где произвольное комплексное число. Тогда

Выбирая различные значения комплексного числа мы формируем различные пары базисных векторов, отвечающих различным состояниям поляризации.

Покажем, что для произвольного комплексного числа преобразование приведенное выше, формирует состояния эллиптической поляризации. Для этой цели мы проанализируем временную зависимость действительной части выражения Разлагая на действительную и мнимую части, из выражения (10.2.17в) получаем

Правые части этих выражений соответствуют движению по эллипсу в плоскости, перпендикулярной волновому вектору к, так как амплитуды и направления колебаний и в общем случае различны. Кроме того, в одном случае движение происходит по часовой стрелке, а в другом — против.

В частном случае, когда действительное число и движение переходит в два косинусоидальных колебания в направлениях двух ортогональных действительных единичных векторов

что, очевидно, отвечает двум ортогональным состояниям линейной поляризации. Новые векторы повернуты на угол вокруг -оси по отношению к старым базисным векторам. В другом случае, когда из выражений (10.2.18) получаем

Эти выражения описывают движение по кругу в двух взаимно противоположных направлениях и, следовательно, отвечают ортогональным состояниям круговой поляризации. В общем случае можно показать из выражений (10.2.18), что квадраты большой а и малой осей эллипса поляризации определяются выражениями

а разность их квадратов

Когда эллипс переходит в линию, и разность принимает свое максимальное значение, равное 1, при действительных соответствующих линейной поляризации. В другом случае, эллипс переходит в круг с когда что соответствует круговой поляризации.

Иногда полезно иметь возможность определить набор базисных векторов, связанный с определенным волновым вектором к, полярный и азимутальный углы которого равны, соответственно, в и Легко показать, что два ортогональных базисных вектора

удовлетворяют условиям (10.2.15) и, следовательно, отвечают двум ортогональным линейным поляризациям, соответствующим волновому вектору k. Единичные векторы направлены вдоль координатных осей. С другой стороны, комплексные базисные векторы

отвечают правой и левой круговым поляризациям, соответствующим волновому вектору k.

Время от времени мы будем сталкиваться с вычислением суммы по двум компонентам тензорной комбинации Отметим сначала, что, поскольку базис поляризаций определен с точностью до унитарного преобразования, мы можем выбрать действительными, ортогональными, единичными векторами. Вместе с единичным вектором направленным вдоль волнового вектора к, эти единичные векторы формируют правый, ортогональный декартов базис. Компоненты представляют собой три направляющих косинуса -оси в этом базисе. Исходя из хорошо известных свойств направляющих косинусов, выражение для косинуса угла между -осью и -осью можно записать в виде

или

Поскольку разложение (10.2.16) справедливо независимо от того, как именно выбраны базисные векторы часто удобно умышленно оставить их неопределенными, вплоть до того момента, когда на некоторой стадии анализа станет ясно, что выбор конкретного набора базисных векторов упрощает вычисления. На этой стадии базисные векторы могут быть выбраны соответствующим образом.

Подставляя (10.2.16) в (10.2.14) и используя полученный результат в (10.2.9), получим разложение

где

Выражение (10.2.20) представляет собой разложение по основным векторным модовым функциям егкг с комплексными амплитудами Каждая мода характеризуется волновым вектором к и индексом поляризации Соответствующая модовая функция, очевидно, удовлетворяет уравнению Гельмгольца

тогда как соответствующая модовая амплитуда удовлетворяет тому же уравнению гармонического осциллятора (10.2.13), что и

Можно сразу воспользоваться соотношением (10.2.20), чтобы с помощью выражений (10.2.7), (10.2.8) записать соответствующие разложения по модам для векторов Таким образом,