10.5. Импульс квантованного поля

В классической электродинамике полный импульс поля пропорционален интегралу по объему от вектора Пойнтинга, который может быть выражен через в единицах СИ в виде

В квантовой теории динамические переменные следует заменить на эрмитовы операторы гильбертова пространства. Мы уже встречались с операторными формами электрического (10.4.39) и магнитного (10.4.40) полей. К сожалению, замена операторами гильбертова пространства в выражении (10.5.1) не приводит к эрмитову оператору, поскольку не коммутируют (см. разд. 10.8). Однако, простейший эрмитов оператор может быть построен из (10.5.1) путем симметризации. Таким образом, мы принимаем следующее выражение для импульса квантованного поля

С помощью разложений (10.4.39) и (10.4.40) для получим

Интегралы по объему легко вычисляются и дают Теперь распишем тройные векторные произведения, которые приводятся к виду

и т.д., поскольку к перпендикулярен Члены, содержащие и обращаются в нуль, поскольку они меняют знак при замене переменных к наконец, с помощью (10.5.3) объединим члены таким образом, чтобы получить выражение

которое мы сравним с выражением (10.3.14) для энергии. За исключением того, что вместо угловой частоты появляется волновой вектор к, выражения для схожи. Используя коммутационное соотношение (10.3.9), можно также записать в нормально упорядоченной форме

На этот раз вклад нулевых колебаний в импульс обращается в нуль, поскольку, при суммировании по всем модам, для каждого члена находится член — Таким образом, мы можем записать импульс в упрощенном виде:

Полученное выражение свидетельствует о том, что оператор как и может быть представлен как функция операторов числа частиц и что коммутируют. Фоковские состояния таким образом, также являются собственными состояниями оператора а соответствующие собственные значения определяются выражением

Собственные значения оператора также, как и собственные значения оператора вырождены. Собственное значение можно интерпретировать в том смысле, что каждый из фотонов -моды поля имеет импульс который не зависит от поляризации. Поскольку уравнение движения Гейзенберга для любого оператора О, не зависящего явно от времени, имеет вид

коммутативность означает, что импульс является интегралом движения для свободного поля.