2.10. Процесс Винера (или одномерное случайное блуждание)

2.10.1. Одномерное случайное блуждание

В качестве показательного примера простого случайного процесса рассмотрим идеализированную модель тела, совершающего одномерное случайное блуждание в решетке. Эта модель обсуждалась Эйнштейном (Einstein, 1906) и часто используется в качестве модели броуновского движения. Она известна так же, как модель блужданий пьяного человека.

Рассмотрим частицу (пьяного человека), помещенную в начальный момент времени в начало системы координат, которая совершает последовательные единичные шаги вперед или назад с равной вероятностью. Исходя из сущности задачи, очевидно, что любое положение тела в последующие моменты времени определяется положением в данный момент времени и не зависит от истории предыдущих положений, так что случайный процесс является марковским. Мы хотим определить вероятность с которой частица окажется в положении после шагов. Пусть будут означать число шагов, сделанных вперед и назад, соответственно. Тогда, очевидно, что

так что

Из определения очевидно, что должны быть равны по модулю, потому что четное положение может быть достигнуто после четного числа шагов и т.д. Вероятность задается распределением Бернулли,

в котором есть число успехов из испытаний, каждый из которых появляется с вероятностью Следовательно,

Теперь подставим сюда вместо значения из (2.10.2) и предположим, что значения этих чисел столь велики, что все факториалы могут быть аппроксимированы по теореме Стирлинга

Тогда получим

Разложим каждый логарифм в степенной ряд и воспользуемся тем фактом, что когда значения являются большими, они становятся приблизительно равными по модулю, так что Таким образом, мы пренебрегаем в экспоненте членами порядка После группировки членов получим

Рис. 2.8. Временная эволюция для случайных блужданий для трех разных моментов времени

Теперь введем координату положения х и время записывая

где а — размер каждого шага и интервал между последующими шагами. Когда малы и когда числа достаточно велики, можно рассматривать как непрерывные переменные. Если плотность вероятности от то

где Множитель появляется вследствие ограничения по модулю Следовательно, из (2.10.5) следует, что

Если допустить, что и таким образом, что остается постоянной, то

Это гауссовское распределение вероятности по с нулевым средним и дисперсией

На рис. 2.8 показана форма для разных значений времени. Очевидно, что плотность вероятности является нестационарной и постепенно уширяется, в результате чего называется процессом диффузии. Иногда его называют процессом Винера, в честь Винера (Wiener, 1923, 1930), который его исследовал.

Нетрудно получить выражение для условной плотности вероятности Сперва заметим, что представляет собой потому что было предположено, что Однако, исходя из природы процесса, очевидно, что его эволюция не зависит от того, где и когда этот процесс начинается; зависит только от разницы и от интервала времени Следовательно, можно получить непосредственно из уравнения (2.10.7) в виде

Это истинная плотность вероятности перехода, которая не зависит от любой другой вероятности.