6.4. Прохождение квазимонохроматического луча через линейные, не формирующие изображения устройства

Теперь изучим как матрица когерентности меняется, когда квазимонохроматический световой луч проходит через некоторые часто используемые линейные, не формирующие изображение оптические устройства. В этих целях полезно объединить компоненты комплексного вектора электрического поля в некоторой точке плоскости поперечной к направлению распространения луча [см. (6.2.1)], в вектор-строку

Его эрмитово сопряжение — это вектор-столбец

Матрица когерентности падающего луча может быть выражена в форме

Если луч проходит через линейное устройство, такое как компенсатор, поглотитель, ротатор или поляризатор, вектор преобразуется в другой вектор, который в «выходной плоскости» может быть представлен вектором-строкой

где -матрица, которая характеризует устройство. Мы будем называть матрицей передачи устройства.

Матрица когерентности комплексного электрического поля луча, который выходит из устройства в точке на выходной плоскости задается как

Подставляя (6.4.3) в (6.4.4) и опуская аргумент мы сразу же найдем, что или, если воспользоваться (6.4.2),

где эрмитово сопряженная

Отметим очевидное следствие уравнения (6.4.5). Если мы вычислим детерминант обеих частей этого уравнения и используем хорошо известную теорему о том, что детерминант произведения матриц равен произведению их детерминантов (Aitken, 1944, разд. 34), то из уравнения (6.4.5) следует, что

Предположим теперь, что падающий луч полностью поляризован Тогда, согласно (6.3.26), мы имеем и уравнение (6.4.6) означает, что следовательно, степень поляризации луча, прошедшего через устройство также равна единице, т.е. прошедший луч также полностью поляризован. Этот результат можно было ожидать, так как интуитивно ясно и может быть легко проверено, что для того, чтобы полностью поляризованный луч стал деполяризованным, т.е. для того, чтобы его степень поляризации изменила свое значение с единицы на более малую величину, необходимо, чтобы устройство вносило некоторую случайность. Такое устройство или среда (например, атмосфера) не может быть представлено единой матрицей передачи а должно характеризоваться ансамблем таких матриц передачи (см., например, Kim, Mandel and Wolf, 1987).

Выражение для среднее значение плотности электрической энергии прошедшего луча получается при подстановке уравнения (6.4.5) в формулу (6.2.7), примененную теперь к лучу, который выходит из линейного устройства. Сразу же можно найти, что

Мы сейчас определим вид матрицы преобразования для некоторых простых, линейных, не образующих изображения устройств.

6.4.1. Компенсатор

Пусть обозначают фазовые изменения, вносимые в компоненты соответственно, компенсатором при распространении луча через него от плоскости до плоскости Мы примем, что относительная разность фаз

которая в общем случае является функцией частоты, мала по сравнению с где I — длина когерентности света и средняя длина волны. Мы также примем, что потери, вызванные отражениями и поглощением в компенсаторе, пренебрежимо малы.

Ясно, что компенсатор переводит в вектор-строку

В силу того, что теперь важна только разность фаз между двумя декартовыми компонентами электрического поля, мы можем выразить соотношение между и в виде

Сравнивая уравнение (6.4.9) с общим выражением (6.4.3), мы видим, что матрица передачи компенсатора, которую мы обозначим как равна

Можно легко проверить, что где 1 — единичная матрица. Следовательно, матрица передачи нашего (несколько идеализированного) компенсатора унитарна. Используя этот факт и вспоминая,

что след произведения матриц не меняется при циклической перестановке, из уравнений (6.4.7) и (6.4.10) получим

Это соотношение показывает, что среднее значение электрической плотности энергии луча не меняется при прохождении через компенсатор.

6.4.2. Поглотитель

В поглотителе компоненты будут затухать. Пусть коэффициенты затухания компонент комплексного вектора электрического поля при распространении через поглотитель от плоскости до плоскости Мы предполагаем, что изменение в узком спектральном диапазоне квазимонохроматического луча и также потери на отражение пренебрежимо малы. Тогда

Следовательно, матрица передачи поглотителя равна

Заметим, что равенство показывает эрмитовость матрицы передачи поглотителя. Используя этот факт, мы сразу же найдем из уравнения (6.4.7), что среднее значение плотности электрической энергии прошедшего луча задается выражением

6.4.3. Ротатор

Различные материалы и физические устройства создают вращение вектора электрического поля относительно направления распространения луча. Такое устройство называется ротатором. Пусть угол поворота комплексного вектора электрического поля вокруг направления распространения при прохождении света через ротатор от плоскости до плоскости Если мы примем, что х фактически не зависит от частоты в узком спектральном диапазоне квазимонохроматического луча и пренебрежем потерями на отражение и поглощение, то ротатор превращает в

Следовательно, матрица передачи ротатора задается как

Сразу же видно, что действительная, ортогональная и, следовательно, унитарная матрица, так что ее транспонированная ее эрмитово сопряженная и ее обратная матрицы равны друг другу Из уравнения (6.4.7) и унитарности следует, что среднее значение плотности электрической энергии прошедшего луча задается выражением

т.е. среднее значение плотности электрической энергии не меняется при прохождении через ротатор.

6.4.4. Поляризатор

Рассмотрим далее поляризатор, который пропускает составляющую электрического поля, направленную под углом в к направлению х. Составляющая падающего поля в этом направлении задается следующим образом:

Следовательно, если пренебречь потерями на отражение и пропускание, вектор-строка который представляет прошедшее поле, задается как

Поэтому матрица передачи поляризатора равна

Легко видеть, что эта матрица удовлетворяет условию идемпотентности т.е. представляет (действительный симметричный) проективный оператор. Это, конечно, выражает тот факт, что электрическое поле, которое выходит из поляризатора, не меняется при прохождении через другой идентичный поляризатор.

Плотность энергии прошедшего луча согласно (6.4.7) задается в виде

6.4.5. Каскадная система

Предположим, что квазимонохроматический световой луч проходит через набор не формирующих изображение устройств собственные оси которых расположены вдоль направления распространения луча (рис. 6.3). Выведем выражение для матрицы передачи системы в целом через матрицы передачи отдельных компонент.

Рис. 6.3. Обозначения, относящиеся к определению матрицы передачи каскадной системы

Пусть это вектор-строка, представляющий собой комплексное электрическое поле падающего луча на плоскости После прохождения через комплексное электрическое поле на плоскости расположенной между будет задаваться как

где матрица передачи После прохождения через второе устройство комплексное электрическое поле на плоскости расположенной между будет задаваться вектором-строкой

где матрица передачи Ясно, что серия последовательных прохождений между плоскостями описывается системой рекуррентных соотношений

Из этих соотношений следует, что

где

— матрица передачи, которая характеризует распространение луча от «входной плоскости» к «выходной плоскости» (см. рис. 6.3).

Мы видим из выражений (6.4.5) и (6.4.26), что если это матрица когерентности на входной плоскости луча, падающего на каскадную систему, сформированную из элементов то матрица когерентности выходящего луча на выходной плоскости задается в виде

Эта формула означает, что

Мы проиллюстрируем использование этой формулы, применив ее к задаче, которую мы рассматривали в разд. 6.2 более простым способом; а именно, определим среднее значение плотности электрической энергии луча, прошедшего через двухкомпонентную систему, состоящую из компенсатора и поляризатора. Для этого случая формула (6.4.28) дает

где матрицы передачи компенсатора и поляризатора, заданные уравнениями (6.4.10) и (6.4.20), соответственно.

Среднее значение плотности энергии луча, выходящего из этой системы согласно уравнениям (6.4.29) и (6.2.7) задается выражением

Ранее мы отметили, что действительная и симметричная идемпотентная матрица, так что Следовательно, уравнение (6.4.30) может быть выражено в виде

где

Подставляя выражения (6.4.10) и (6.4.20) в (6.4.32), можно сразу же найти, что

Наконец, при подстановке выражения (6.4.33) в (6.4.31) получаем, что

согласуется с формулой (6.2.4).

Прохождение луча через различные устройства может, конечно, также быть описано с помощью параметров Стокса, а не с помощью матриц когерентности. Для того, чтобы вывести соответствующий закон преобразования, обозначим с помощью параметры Стокса луча на входной и выходной плоскостях, соответственно. Тогда мы имеем согласно (6.2.43)

где спиновые матрицы Паули, определенные формулой (6.2.41), и единичная -матрица (6.2.42). В правой части выражения (6.4.356) и в последующем используется правило суммирования Эйнштейна, т.е. по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Теперь согласно (6.4.5) матрицы когерентности на входной и выходной плоскостях связаны формулой

Подставляя (6.4.36) в (6.4.35а), мы сразу же найдем, что

или, используя выражение (6.4.356), что

т. е.

где

Формула (6.4.38) — искомый закон преобразования параметров Стокса, и она показывает, что каждый параметр Стокса для поля на выходной плоскости является линейной комбинацией параметров Стокса для поля на входной плоскости. Видно, что это линейное соотношение характеризуется -матрицей вообще говоря, известной как матрица Мюллера. Формула (6.4.39) выражает элементы матрицы Мюллера системы через элементы матрицы передачи.

Частично по историческим причинам параметры Стокса использовались гораздо более часто, чем матрицы когерентности. Следует заметить, однако, что влияние линейных, не образующих изображение, не деполяризующих, детерминированных устройств описывается гораздо более просто с помощью матрицы когерентности, чем с помощью параметров Стокса. В представлении матрицей когерентности устройство характеризуется -матрицей, тогда как в представлении параметров Стокса необходимы -матрицы. Очевидно для не деполяризующих устройств элементы матрицы Мюллера удовлетворяют значительному числу ограничений (см., например, Barakat, 1981; Simon, 1982).