10.2. Гамильтониан классического поля и канонические уравнения движения

Рассмотрим электромагнитное поле в пространстве, свободном от зарядов и токов. Поле, таким образом, удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла, которые в системе единиц СИ имеют вид

векторы напряженности электрического и магнитного полей в пространственно-временной точке Часто удобно представить свободное электромагнитное поле через поперечный векторный потенциал в кулоновской калибровке, который удовлетворяет однородному волновому уравнению

и условию

Электрическое и магнитное поле выражаются через следующим образом:

10.2.1. Разложение по плоским волнам

Чтобы получить гамильтоновы уравнения движения, полезно первоначально осуществить фурье-разложение по пространственным координатам Разложение может быть выполнено как в виде интеграла Фурье, так и в виде ряда Фурье. Хотя на данном этапе нет особого преимущества в выборе того или иного метода, в конечном итоге мы обнаружим, что несколько проще иметь дело с квантованным полем в виде дискретного разложения Поэтому представим себе, что электромагнитное поле заключено в большой куб со стороной и наложим на поле периодические граничные условия. На соответствующей стадии вычислений мы будем считать величину стремящейся к бесконечности. Нет необходимости говорить, что любые результаты, имеющие физический смысл, не должны зависеть от

Запишем трехмерное фурье-разложение по плоским модам в виде

где компоненты вектора к

составляют дискретное множество, и сумма понимается как сумма по целым числам Множитель где электрическая постоянная, введен для удобства дальнейших вычислений. Учитывая условие поперечности (10.2.6), получаем

для всех откуда следует, что

Кроме того, действительный характер приводит к условию

Поскольку удовлетворяет однородному волновому уравнению (10.2.5), отсюда следует, что

для всех и таким образом, удовлетворяет уравнению движения

Мы ввели угловую частоту сокращенно обозначив ее как Общее решение этого уравнения, удовлетворяющее также условию (10.2.12), имеет вид