13.1.2. Статистика фотонов

Согласно выражению (13.1.4) оператор очевидно, является диагональным в фоковском представлении Умножая каждый множитель в (13.1.4) на единицу, записанную в виде

и используя то, что является собственным состоянием оператора получаем

Коэффициент перед есть вероятность обнаружить фотонов в -моде. Тогда для совместной вероятности множества чисел заполнения фотонов имеем

где

Числа заполнения различных мод статистически независимы и распределены экспоненциально по

Получив совместную вероятность можно легко вычислить все моменты величины Вместо того, чтобы определять каждый момент индивидуально, легче определить их все сразу через производящую функцию факториального момента

Коэффициент при в разложении в степенной ряд есть факториальный момент

С помощью (13.1.6) сразу находим, что

откуда следует, что коэффициент при имеет вид

Следовательно, полагая получаем среднее число фотонов в -моде

Если

Используя (13.1.8) можно заменить на в выражении (13.1.6) и выразить вероятность непосредственно через среднее число заполнения В результате получим

Выражение имеет стандартный вид произведения распределений Бозе — Эйнштейна (см. разд. 1.5.3). Таким образом, тепловые равновесные фотоны подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна.

Выражение (13.1.8) показывает, что среднее число заполнения каждой моды зависит только от частоты и от температуры и что все моды, отвечающие разным направлениям волнового вектора и разным поляризациям, одинаково заселены в среднем. Отметим также, что размер объема квантования не входит в выражение для Хотя среднее полное число фотонов пропорционально плотность мод изменяется как так что не зависит от геометрии. Нетрудно сделать оценку порядка величины в оптическом диапазоне для типичной температуры излучения. Поскольку оптические частоты накрывают относительно малый диапазон, величина всегда находится в пределах от 1.5 до При температуре которая характерна для излучения ламп накаливания, следовательно, тогда как на поверхности солнца, где

Эти значения, конечно, меньше при более низких температурах. Мы видим, что средние

числа заполнения фотонов очень малы для тепловых оптических полей, обычно встречаемых на практике, и что большинство мод, как правило, незаполнены. Поскольку различные моды независимы, оптические фотоны, создаваемые привычными тепловыми равновесными источниками, также независимы в первом приближении. Это следует и из выражения (13.1.9), которое в этих условиях дает что характерно для пуассоновской статистики. Тем не менее, небольшие отклонения от строго пуассоновской статистики могут привести к важным наблюдаемым эффектам, как это будет видно в гл. 14. Ситуация, конечно, меняется при достаточно высоких температурах, когда становится пропорциональным как видно из (13.1.8). Однако, требуются чрезвычайно высокие температуры, такие, как температуры, характерные для реакций термоядерного синтеза, прежде чем числа заполнения фотонов станут большими. Число остается все еще порядка единицы для оптических длин волн при температуре около