21.4. Идеальное сжатое состояние

Мы уже встречались с двухфотонным когерентным состоянием (Yuen, 1976), которое получается в результате действия оператора сжатия на когерентное состояние Когерентное состояние может быть получено при действии унитарного оператора смещения (Glauber, 1963) на вакуумное состояние (ср. разд. 11.3), поэтому

С другой стороны, можно создать сжатое состояние, действуя двумя операторами в обратном порядке. Результирующее состояние

было названо идеальным сжатым состоянием (Caves, 1981) из-за своих простых свойств. Поскольку не коммутируют, то два состояния различны. Связь между этими двумя состояниями может быть получена из следующих операторных тождеств (Fisher, Nieto and Sandberg, 1984), которые мы приведем без доказательства,

Рис. 21.3. Иллюстрация создания из вакуумного состояния (а) идеального сжатого состояния двухфотонного когерентного состояния Угол в на рисунке является отрицательным

где

и были заданы выше выражениями (21.3.3). Чтобы упростить обозначение, мы часто будем писать вместо но их зависимость от z все еще подразумевается. Это приводит к следующему соотношению между идеальным сжатым состоянием и двухфотонным когерентным состоянием:

Следовательно, каждое идеальное сжатое состояние также являет собой пример двухфотонного когерентного состояния, и наоборот. Так как последнее состояние, как мы уже видели, является сжатым, то предшествующее тоже сжатое. Следует подчеркнуть, что в уравнениях выше являются независимыми переменными, тогда как определяемые выражением (21.4.4), есть функции как от так и от z.

Так же, как и двухфотонное когерентное состояние, идеальное сжатое состояние является правым собственным состоянием оператора псевдоуничтожения А. Поэтому, из выражений (21.3.9) и (21.4.5) мы имеем

и после операции сопряжения получаем

С помощью (21.3.7), (21.4.4), (21.4.6) и (21.4.7) мы находим для среднего значения а в идеальном сжатом состоянии

тогда как соответствующее среднее значение в двухфотонном когерентном состоянии равно

Если говорить не очень строго, то (а) отождествляется с центром распределения в фазовом пространстве для данного состояния. Эллипс, характеризующий идеальное сжатое состояние следовательно, центрирован в тогда как для двухфотонного когерентного состояния он центрирован в (ср. рис. 21.3).

Рис. 21.3 иллюстрирует формирование состояний и из вакуумного под действием сжатия и смещения. Вакуумное состояние представлено кругом с центром в начале координат фазового пространства. Если оператор сжатия применяется первым, то круг становится эллипсом, и соответствующее

состояние иногда называют сжатым вакуумным состоянием, хотя оно не является вакуумным, как мы покажем ниже (см. рис. 21.3а). Действие оператора смещения после этого сводится к перемещению эллипса на от начала координат (см. рис. 21.3а). С другой стороны, если применить оператор смещения первым, то вакуумное состояние становится когерентным состоянием при этом круг перемещается на v (см. рис. 21.3б). Последующее действие оператора сжатия превращает круг в эллипс, но оно также вызывает дополнительное смещение к точке V- в фазовой плоскости. Именно отсутствие такого интерференционного эффекта между сжатием и смещением на рис. 21.3а делает идеальное сжатое состояние чрезвычайно простым.

21.4.1. Фотонная статистика

Среднее число фотонов в идеально сжатом состоянии определяется формулой

Подставляя из (21.4.4), мы находим после некоторых алгебраических преобразований, что

Следовательно, сжатие дает вклад фотонов в это среднее значение, в то время как вклад от смещения составляет фотонов. В особом, так называемом «сжатом вакуумном» состоянии имеем

откуда очевидно, что это состояние вообще не является вакуумным состоянием. В противоположность этому, мы находим с помощью (21.4.5), что для двухфотонного когерентного состояния

Далее рассмотрим фотонные флуктуации в идеальном сжатом состоянии. С помощью (21.3.7) можно записать

После расположения операторов в нормальном порядке, использования соотношений (21.4.6) и (21.4.7) для собственных функций и приведения подобных членов мы получаем в результате некоторых алгебраических процедур

Комбинируя это выражение с (21.4.10) для и используя (21.3.3), получаем для отклонения от пуассоновской статистики формулу

И, наконец, воспользуемся определением (21.4.4), чтобы получить соотношения

и затем подставим их в (21.4.13). После перестановки слагаемых мы в итоге приходим к результату

В зависимости от фазового угла а эта величина может быть или положительной, или отрицательной, поэтому фотонная статистика идеально сжатого состояния может быть супер- или субпуассоновской. Из рис. 21.3а видно, что когда неосновная ось эллипса лежит вдоль радиус-вектора от начала координат к центру, и интенсивность или флуктуации числа фотонов тогда наименьшие. Мы уже видели (ср. разд. 12.10.3), что удобно характеризовать отклонение от пуассоновской статистики с помощью параметра

который отрицателен для субпуассоновской статистики и равен —1 для фоковского состояния. С помощью выражений (21.4.15) и (21.4.10) находим, когда что

Предположим, что параметр сжатия и что смещение достаточно большое Тогда выражение (21.4.16) дает

Если является достаточно большой величиной даже по сравнению с тогда что соответствует полному отсутствию флуктуаций числа фотонов. На сжатое состояние иногда ссылаются как на сжатое по числам фотонов состояние.

В противоположность этому, когда эллипс поворачивается на 90° и основная ось эллипса лежит вдоль радиуса вектора. Тогда есть большая и положительная величина, соответствующая большим суперпуассоновским флуктуациям числа фотонов, в то же время фазовые флуктуации поля снижены.