12.10.4. Производящие функции для числа фотонов при нормальном и антинормальном порядке

Те же самые уравнения, связывающие моменты можно получить, вычисляя характеристическую функцию от Тогда из (12.10.8) имеем

Разлагая обе части этого уравнения в степенной ряд по и сравнивая коэффициенты, установим связь между моментами Ясно, что результат должен получится тот же, что и прежде, поскольку (12.10.17) идентично (12.10.12), если сделать замену . Оба эти уравнения также можно рассматривать в качестве формул упорядочения, поскольку они предоставляют возможность связать нормально упорядоченные произведения с прямыми произведениями, как и в (12.10.13).

Иногда полезно иметь под рукой соответствующее соотношение для антинормально упорядоченных произведений оператора числа частиц Хотя вопрос упорядочения операторов в более общем виде будет рассмотрен в гл. 14, легко получить требуемое соотношение, исходя из определения антинормально упорядоченного произведения порядка для

где как и прежде, означает антинормальное упорядочение, обозначения мод, соответствующих Далее из коммутационных соотношений (10.3.9) следует, что

где представляет общее число мод, вносящих вклад в сумму. Как и при нашем предыдущем обсуждении антинормально упорядоченных корреляционных функций в разд. 12.9, мы должны считать это число, в силу тех же причин, конечным и приготовиться встретить его в уравнениях в явном виде. С помощью (12.10.19), выражение (12.10.18) можно записать следующим образом:

Теперь воспользуемся коммутационным соотношением (10.4.2) в виде

для последовательного перемещения оператора в (12.10.20) вправо. В этом случае получаем формулу

которая является рекуррентным соотношением. Многократное применение указанного соотношения приводит к результату

или, после нахождения ожидаемых значений обеих частей,

Таким образом, мы пришли к разложению антинормально упорядоченных моментов оператора числа частиц. Конечные формулы (12.10.23) следует сравнить с (12.10.13) для нормально упорядоченных моментов. Мы видим, что структура выражений связана с лежащей в их основе физической картиной, когда поле может быть измерено либо с помощью фотодетекторов, либо с помощью квантовых счетчиков. Напомним, что нормальная упорядоченность соответствует последовательному поглощению фотонов, тогда как антинормальная упорядоченность соответствует последовательному испусканию фотонов. Также интересно отметить, что, в соответствии с (12.10.236), не может обратиться в нуль для любого состояния поля, тогда как обращается в нуль всегда, когда поле содержит менее чем фотонов.

Из (12.10.236) непосредственно выводится характеристическая производящая функция для антинормально упорядоченных моментов

которую можно сравнить с (12.10.12). Осуществляя замену в (12.10.12), можно объединить оба результата и записать выражение

которое непосредственно связано с нормально и антинормально упорядоченными моментами.