Глава 6. ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ВЕКТОРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

6.1. Введение

В предыдущих главах мы изучили корреляционные эффекты второго порядка во флуктуирующих скалярных волновых полях. Мы видели, что простейшее проявление корреляций второго порядка в таких полях — это хорошо известные интерференционные явления. Мы показали, что их тщательный анализ приводит к введению скалярных корреляционных функций (функции взаимной когерентности или ее фурье-образа — функции взаимной спектральной плотности), с помощью которых могут быть проанализированы все корреляционные эффекты второго порядка.

Теперь обратим внимание на векторные поля, а точнее, на флуктуирующие электромагнитные поля. Начнем с анализа хорошо известного явления, которое свидетельствует о наличии корреляций второго порядка электромагнитных полей, а именно частичной поляризации. Мы увидим, что анализ частичной поляризации может быть с успехом выполнен с помощью определенных матриц размерности 2x2. Их естественным обобщением являются корреляционные матрицы размерности 3x3, которые связаны с набором корреляционных тензоров второго ранга. Используя эти тензоры, можно получить единое описание всех корреляционных явлений второго порядка в электромагнитных полях.

Как и в скалярном случае, удобно использовать аналитическое представление сигнала (разд. 3.1.1). Рассмотрим единственную реализацию флуктуирующего поля и пусть обозначают (действительные) векторы электрического и магнитного поля, соответственно, в точке, заданной радиус-вектором в момент времени Выразим каждый вектор поля в виде интеграла Фурье

Тогда соответствующие комплексные аналитические сигналы задаются интегралами

Для полей, которые являются статистически стационарными, разложение Фурье (6.1.1) не будет существовать в смысле теории аналитических функций (см. разд. 2.4) и должно интерпретироваться в смысле теории обобщенных функций. Из уравнения (3.1.12) следует, при применении к каждой декартовой компоненте комплексного электрического и магнитного поля, что

где действительная и мнимая части каждого из этих двух комплексных векторов поля образуют пару относительно преобразования Гильберта.

Для дальнейших целей будет удобно вывести выражения для средних значений плотностей электрической и магнитной энергии и для среднего значения вектора Пойнтинга электромагнитного поля в свободном пространстве через комплексные векторы поля Полагая, что флуктуации поля стационарны (по крайней мере, в широком смысле), эргодичны и имеют нулевое среднее, мы имеем, согласно уравнениям (3.1.77), что

Теперь в гауссовой системе единиц среднее значение плотности электрической энергии задается выражением

Воспользовавшись соотношениями (6.1.3а) и (6.1.4), мы сразу же найдем, что в терминах комплексного поля

Точно таким же образом следует, что среднее значение плотности магнитной энергии может быть выражено в виде

Среднее значение вектора Пойнтинга задается выражением

Теперь согласно (6.1.3) имеем

где обозначает действительную часть. Воспользовавшись соотношением (3.1.77а), мы сразу же найдем, что два слагаемых в правой части уравнения (6.1.9) равны друг другу, и, следовательно,

Подставляя это соотношение в выражение (6.1.8), мы получаем требуемое выражение для среднего значения вектора Пойнтинга: