17.1.5. Квантовая теорема регрессии для нормально упорядоченных операторов поля

Квантовая теорема регрессии может быть записана в очень простой форме для некоторых нормально упорядоченных операторов квантового поля, взаимодействующего с «резервуаром» (Louisell, 1969). В разд. 11.9 мы видели, что среднее значение нормально упорядоченного полевого оператора может быть вычислено точно также, как классическое с-числовое среднее при помощи диагонального представления оператора плотности по когерентным состояниям. Для одной моды электромагнитного поля последнее имеет вид

где когерентное состояние и обобщенная плотность распределения в фазовом пространстве (весовая функция). Тогда можно вычислить, например, по формуле (Sudarshan, 1963; Klauder, 1966; Klauder and Sudarshan, 1968)

где мы использовали оптическую теорему эквивалентности (см. разд. 11.9). В более поздний момент времени величина задается соотношением

где функция Грина, определяющая временную эволюцию Поэтому можно записать

Данное выражение имеет такую же структуру, как и (17.1.12), за исключением того, что суммы заменены интегралами по комплексной плоскости.

Квантовая теорема регрессии позволяет записать двухвременнбе среднее, типа непосредственно для взаимодействующего электромагнитного поля, комбинируя функцию Грина с оптической теоремой эквивалентности. Это дает следующий результат:

Подобным же образом, если нас интересуют двухвременные корреляции интенсивности света, то применяя ту же теорему, получим

Еще раз отметим, что многовременные корреляционные функции вычисляются при помощи той же функции Грина, которая определяет временную эволюцию средних значений, как в выражении (17.1.33). Общая теория эволюции многовременных корреляций и многовременных функций распределения была развита в работе (Srinivas and Wolf, 1977).