10.4.4. q-представление фоковских состояний

В общем случае можно определить плотность вероятности собственных значений для фоковского состояния, характеризуемого набором чисел заполнения фотонов Эта вероятность представляет собой среднее значение проекционного оператора на состояние соответствующее собственному значению

Плотность вероятности поэтому известна, если определено скалярное произведение Это скалярное произведение представляет собой амплитуду состояния в -представлении, или так называемую шредингеровскую волновую амплитуду.

Чтобы получить ее, заметим сначала, что из выражений (10.3.5) и (10.4.11) следует

где мы воспользовались хорошо известным свойством канонически сопряженных операторов позволяющим записать для любого вектора состояния в гильбертовом пространстве, связанном с этими операторами, следующее выражение

Видно, что можно найти из выражения (10.4.30) путем решения простого линейного дифференциального уравнения первого порядка. Решение имеет вид

если нормировочная константа выбирается таким образом, чтобы удовлетворять условию

Выражение (10.4.32) определяет амплитуду или шредингеровскую волновую функцию основного состояния в -представлении, которая имеет гауссовскую форму. Согласно выражениям (10.4.16), (10.4.31), (10.4.32) и можно записать в виде

-кратное применение дифференциального оператора к функции приводит к эрмитовым функциям порядка, и мы в итоге получим

где полином Эрмита порядка от х.