17.2. Флуктуационно-диссипационная теорема

Со времен первой работы Эйнштейна по броуновскому движению и молекулярной диффузии (Einstein, 1905) и работы Найквиста по тепловому шуму в резисторах (Nyquist, 1928) известно, что в некоторых физических системах существует связь между тепловыми флуктуациями и диссипацией энергии, вызванной внешним возмущением. Общее рассмотрение и квантово-механическое обоснование этой связи было сделано в работе Каллена и Велтона (Callen and Welton, 1951), которые сформулировали ее в виде флуктуационно-диссипационной теоремы. Как мы увидим, данная теорема позволяет с минимальными вычислениями определить спектральную плотность тепловых флуктуаций в некоторых простых физических системах, и приводит к дальнейшим улучшениям (Kubo, 1966).

Для того, чтобы понять физику данной теоремы, рассмотрим в качестве примера зеркало гальванометра, подвешенное в воздухе. Зеркало подвергается огромному числу случайных ударов молекул, что вызывает флуктуации и броуновское движение угла поворота зеркала во времени. Случайное движение можно наблюдать и регистрировать при помощи достаточно чувствительного инструмента. В то же время удары наличие молекул вызывает вязкостную или диссипативную силу, которая противодействует движению зеркала. Макроскопически это сопротивление истолковывается как вязкость и вызывает затухание любых периодических осцилляций зеркала гальванометра во времени. Ясно, что один и тот же механизм — удары молекул — отвечает как за флуктуации зеркала, так и за его успокоение, поэтому следует ожидать некоторого соотношения между флуктуациями и диссипацией.

17.2.1. Простая классическая линейная диссипативная система

Чтобы рассуждения носили более количественный характер, рассмотрим физическую систему, подверженную случайным возмущениям, движение которой может быть описано дифференциальным уравнением первого порядка типа уравнения Ланжевена. Например, это может быть зеркало гальванометра, о котором только что упоминалось, или частица, испытывающая броуновское движение в жидкости, уравнение движения которой имеет вид

Здесь скорость частицы и ее масса. Константу В иногда называют подвижностью. Члены вместе описывают общую флуктуационную силу, действующую на частицу со стороны окружающей жидкости. Разделим эту силу на ее среднее значение которое обычно истолковывается как макроскопическое вязкостное сопротивление, и флуктуационную силу которая представляет собой отклонение от среднего и приписывается ударам молекул. По определению

Рис. 17.1. Простая линейная диссипативная система, испытывающая флуктуации

Другой пример физически отличающейся, но математически эквивалентной системы, изображен на рис. 17.1. В данном случае электрический ток проходит через сопротивление и индуктивность вследствие действия флуктуирующей возникающей из-за теплового движения зарядов в резисторе. Это явление иногда называют тепловым шумом. Дифференциальное уравнение, определяющее прохождение тока, имеет вид

где Если движение частицы, рассмотренной выше, ограничить одним измерением, то станет ясно, что две задачи математически эквивалентны. Уравнение (17.2.2) непосредственно интегрируется, и мы получаем

Если вычислить среднее от каждого слагаемого и воспользоваться тем, что то сразу найдем

Таким образом, среднее значение силы тока стремится к нулю, независимо от его начального значения. Однако, как будет сейчас показано, среднеквадратичная сила тока не стремится к нулю. При возведении в квадрат и вычислении среднего, воспользуемся тем фактом, что сила тока в момент времени не коррелирует с флуктуирующей в более поздние моменты времени так что

Тогда

Теперь учтем, что есть корреляционная функция теплового шума, который можно считать стационарным при заданной температуре. Следовательно, как обычно в случае стационарного процесса, есть функция от и можно записать

Поскольку подынтегральное выражение содержит функции только от аргументов интеграл можно упростить, как в разд. 2.2 и разд. 14.9, следующей подстановкой Якобиан данного преобразования равен единице, а пределы для новых переменных равны

что видно из рис. 2.3 и 14.14. В результате, получаем следующую формулу

Теперь учтем, что корреляционная функция существенно отлична от нуля в ограниченной области, определяемой шириной полосы частот случайного шума Если нас интересует стационарное значение то естественно предположить, что значение является большим. В этом случае почти для всех значений оба интеграла по могут быть аппроксимированы формулой

где

— спектральная плотность теплового шума. Тогда уравнение сводится к следующему:

и, далее, при получаем для установившегося состояния

Теперь учтем, что есть средняя энергия магнитного поля, которая в равновесном состоянии должна быть равна где постоянная Больцмана, вследствие закона равномерного распределения. Это позволяет переписать уравнение (17.2.8) в следующем виде:

Данная формула является соотношением, которое связывает величину флуктуаций напряжения, представленную через спектральную плотность на нулевой частоте с диссипативными процессами в системе, которые представлены сопротивлением Это, возможно, простейший пример флуктуационно-диссипационной теоремы. Найквист (Nyquist, 1928), исходя из простых физических соображений показал, что спектральная плотность теплового шума является константой (по крайней мере вплоть до очень высоких значений частот), так что уравнение (17.2.9) можно обобщить следующим образом:

откуда прямо следует дальнейшее обобщение на случай сопротивления зависящего от частоты.

Использованные нами аргументы, так же как и следствия, которые из них получены, оказываются достаточно широко применимыми. Они справедливы для широкого класса линейных систем и даже для квантово-механических систем. Обратимся теперь к выводу соотношения между флуктуациями и диссипацией в квантово-механической линейной диссипативной системе. Мы будем следовать выводу Калле-на и Велтона (Callen and Welton, 1951). С другим примером квантовой системы, которая подчиняется флуктуационно-диссипационной теореме, мы встретимся ниже, в разд. 17.4, рассматривая квантовый ланжевеновский процесс.