Рис. 2.2. Реализации стационарного случайного процесса
Также выбирая
из уравнения (2.2.1) имеем
так что совместные вероятности
можно выразить в виде функций разностей между одной из
временных аргументов и остальными
аргументами. В частности, для автокорреляционной функции получим
для всех значений так что она зависит только от разности двух временных аргументов. Поэтому
часто записывают как
Заменяя в уравнении
на
мы видим, что
является симметричной, т.е.
для действительных стационарных процессов. В более общем случае можно показать [рассуждая так же, как при выводе (2.2.5)], что для корреляционной функции
-порядка стационарного случайного процесса
для всех
Однако корреляции высших порядков встречаются не так часто.
Когда интерес представляют только среднее
и корреляционная функция второго порядка
часто используется более слабая форма стационарности. В случае, когда для
его среднее
не зависит от времени и его автокорреляционная функция
зависит от
только через их разность, говорят, что случайный процесс является стационарным в широком смысле.
Если вместо действительного случайного процесса
мы имеем дело с комплексным случайным процессом
автокорреляционная функция
определяется уравнением
В том случае, когда процесс является стационарным, по крайней мере, в широком смысле,
не зависит от
и подчиняется условию эрмитовости
вместо условия симметрии (2.2.6).