17.2.4. Флуктуации тока в состоянии теплового равновесия

Поскольку предполагалось, что динамическая переменная не диагональна в базисе собственных состояний гамильтониана ясно, что не имеет определенного значения в состоянии но имеет, скорее, некоторое распределение вероятностей со средним значением и дисперсией

То же самое справедливо и для тока Из уравнений движения Гейзенберга для и из выражения (17.2.11) следует, что

так что матричный элемент

Когда данное выражение обращается в нуль, и поэтому, среднее значение равно нулю в состоянии

Вычислим теперь дисперсию тока в состоянии которая задается выражением

Если мы вставим единичный оператор в виде между двумя множителями и воспользуемся выражением (17.2.23), то сразу получим соотношение

После замены сумм интегралами с использованием, как и раньше, плотности состояний, данное выражение принимает вид

Последнее уравнение получается из предыдущего при помощи подстановок в первый и второй интегралы, соответственно. Учитывая наше соглашение о том, что при верхний предел в последнем интеграле можно увеличить до бесконечности.

Уравнение (17.2.24) определяет дисперсию величины в состоянии Рассматривая состояние, которое является смесью состояний с весами определяемыми выражением (17.2.19), сразу получаем дисперсию величины для системы в тепловом равновесии. Усредняя еще раз по с заменой суммы на интеграл, находим

Последняя строка получена из предыдущей путем перестановки интегралов по и замены во втором интеграле и выражением величины через при помощи формулы (17.2.19).