14.5. Вероятность многократного детектирования при произвольном начальном состоянии поля

Конечно, простота результата, заключенного в (14.4.1) и (14.4.2), является отражением того факта, что мы выбрали начальное состояние в виде чистого когерентного состояния электромагнитного поля. На первый взгляд, может показаться, что предыдущее рассмотрение вообще не пригодно, если мы хотим вычислить вероятность детектирования при другом начальном состоянии. Однако ценой потери определенной доли математической строгости можно обобщить (14.4.2) на произвольное начальное состояние поля.

Предположим, что вместо начального чистого когерентного состояния мы имеем дело с ансамблем когерентных состояний. Для каждой реализации ансамбля мы используем предыдущие рассуждения, чтобы вывести совместную вероятность детектирования и приходим к выражению вида (14.4.2). Если каждая реализация ансамбля характеризуется весом так что начальный оператор плотности поля имеет вид

то соответствующая вероятность (14.4.2) также должна иметь тот же вес В этом случае, правильная совместная вероятность детектирования получается усреднением с помощью вероятности,

полученной для каждой реализации и, таким образом,

Угловые скобки означают усреднение ансамбля по Но в разд. 11.8 мы видели, что существует представление, в соответствии с которым любое состояние поля может быть рассмотрено как «обобщенный ансамбль» когерентных состояний и разложено как (14.5.1), при условии, что весовые функционалы также содержат достаточно сингулярные обобщенные функционалы. В таком широком смысле (14.5.2) следует применять к любому начальному состоянию электромагнитного поля, для которого задается диагональным представлении оператора плотности поля по когерентным состояниям. Полученный результат можно сравнить с полуклассическим выражением (9.6.4).

Теперь воспользуемся так называемой оптической теоремой эквивалентности, описанной в разд. 11.9 и задаваемой выражением (11.9.4), для того, чтобы переписать (14.5.2). В соответствии с этой теоремой, среднее значение любого нормально упорядоченного оператора поля может быть записано как среднее по ансамблю, в котором операторы рождения и уничтожения заменены их правыми и левыми собственными значениями, а усреднение должно проводиться с функционалом фазового пространства, используемым в качестве весового функционала. Применим эту теорему к (14.5.2) в обратном порядке. Тогда собственные значения из которых состоят интенсивности замещаются соответствующими операторами рождения и уничтожения в нормальном порядке и вычисляется квантовое среднее. Поскольку мы рассматриваем оптическое поле, фактически, как свободное, или несвязанное ни с каким источником, то операторы рождения и уничтожения коммутируют между собой и их временной порядок уже не важен. Но в более общей ситуации, в которой поле взаимодействует с источником, временной порядок операторов по-прежнему важен (ср. разд. 12.2). Таким образом, применяя оптическую теорему эквивалентности в обратном порядке, мы записываем выражение для в форме, упорядоченной во времени (Glauber, 1963, 1965, с. 83)

где нормально и хронологически упорядоченная корреляционная функция порядка в обозначениях гл. 12. Здесь обозначают символы нормального упорядочения и упорядочения по времени, а означает квантовое среднее. Выражение для совместной вероятности -кратного детектирования применимо в таком виде к любому квантовому состоянию поля и представляет собой соответствующее обобщение выражения (14.4.2). Обычно, удобнее всего предположить, что операторы поля в правой части (14.5.3) записаны в картине Гейзенберга, так что поле можно считать находящимся в своем начальном состоянии. Отметим, что данное решение в точности имеет вид решения, полученного ранее в разд. 12.2 из простых эвристических рассуждений. Кроме того, оно совпадает с результатом, получаемым из полу классической теории (Mandel, Sudarshan and Wolf, 1964) (ср. разд. 9.4), если в (14.5.3) есть корреляционная функция классического поля. Однако квантовая теория поля, помимо традиционных состояний, допускает рассмотрение состояний, не имеющих классического аналога.

В качестве непосредственного применения (14.5.3) к неклассической ситуации, вычислим совместную вероятность двукратного фотодетектирования для поля, находящегося в однофотонном фоковском состоянии Из того, что операторы уничтожения фотона, действующие слева на это состояние, дают нуль, следует, что

чего и следовало ожидать, так как с каждым детектированием связано поглощение фотона.

Следует подчеркнуть, что вероятности (14.5.3) являются вероятностями в дифференциальной форме и их нельзя нормировать на единицу путем интегрирования по временным переменным. Чтобы пояснить это, обратимся к частному случаю одного детектора. В этом случае совместная вероятность детектирования сводится к выражению

где через обозначен временной интервал между двумя фотоотсчетами и опущены пространственные аргументы. Разделив обе части выражения на получим условную вероятность того, что после отсчета в момент времени появится еще один отсчет в момент в течение

Для стационарного поля каждое среднее в этом уравнении не зависит от а зависит только от Однако не следует путать вероятность с распределением вероятности для временного интервала между последовательными фотоотсчетами, которое относится к взаимоисключающим событиям и нормируется на единицу. Если представляет собой временной интервал между последовательными отсчетами, то, по определению, между не существует никаких других отсчетов, тогда как эта возможность не исключена в (14.5.5). Ниже, в разд. 14.7 мы покажем, что задается формулой

которая корректно нормируется на единицу, так что