12.12. Влияние аттенюатора или делителя пучка на квантовое поле

В оптике по ряду причин часто бывает необходимо ослабить пучок света, например, чтобы сберечь измерительный прибор. Этого можно достигнуть, если на пути пучка установить определенного типа фильтр. Подходящим типом фильтра (возможно, многослойным) является диэлектрик. Кроме того, этот частичный отражатель, будучи установленным под углом, как показано на рис. 12.7, служит делителем пучка и может создавать отраженный и проходящий пучки, интенсивности которых зависят от отражательной и пропускной способностей данного делителя. Поскольку он может служить также в качестве аттенюатора, то мы примем его в качестве прототипа аттенюатора или делителя пучка. Так как отражательная способность и пропускная способность делителя пучка могут зависеть от частоты, поляризации и, возможно, от направления падающего света, то желательно произвести разложение по модам для падающего, отраженного и прошедшего полей и установить связь между амплитудами соответствующих мод, а не между суммарными полями.

Рис. 12.7. Делитель пучка с классическими полями на входе и выходе

Рис. 12.8. Делитель пучка с квантовыми полями

Для простоты мы предположим, что никакого поглощения внутри самого делителя нет. Для случая одного диэлектрического слоя, фазы отраженной и прошедшей волн всегда отличны на при условии, что с обеими сторонами делителя контактирует одинаковая среда. Это положение также справедливо в общем случае для любого делителя с симметричным распределением слоев. Но несимметрично устроенный фильтр может иметь другую отражательную способность и пропускную способность для света, падающего с обратной стороны (см. рис 12.8). Однако согласно Стоксу (Stokes, 1849) четыре величины должны удовлетворять следующим соотношениям взаимности (см. также Born and Wolf, 1980, разд. 1.6; Vasicek, 1960; Friberg and Drummond, 1983a, b; Nieto-Vesperinas and Wolf, 1986; Ou and Mandel, 1989):

которые можно вывести, например, исходя из баланса энергии. Если мы рассматриваем в качестве четырех элементов «матрицы рассеяния»

для данного делителя пучка, которая связывает пару входных данных и пару выходных [см. (12.12.4) ниже], то (12.12.1) просто отражают факт унитарности матрицы В разд. 10.9.5 мы уже видели, что если при классическом рассмотрении мы можем пренебречь фактом существования неиспользуемого входа, это невозможно при квантовом рассмотрении делителя.

12.12.1. Операторные соотношения

Если поле квантовано, то классические комплексные амплитуды мод показанные на рис. 12.7, следует заменить операторами уничтожения фотона которые подчиняются каноническим коммутационным соотношениям

В таком случае становится невозможным, чтобы два выходных оператора были пропорциональны входному подобно тому, как это имеет место для соответствующих классических выходных амплитуд, поскольку это нарушило бы коммутационные соотношения, что нами было показано еще в разд. 10.9.5. Для того, чтобы согласовать известное влияние делителя пучка на падающий свет с квантовой механикой, мы должны учесть вакуумное поле на неиспользуемом входе. Эту проблему рассматривали различным образом в работах (Yuen and Shapiro, 1980; Ley and Loudon, 1985; Fearn and Loudon, 1987; Ou, Hong and Mandel, 1987; Campos, Saleh and Teich, 1989).

Пусть комплексная амплитуда поля на входе (см. рис. 12.8). Построим выходные динамические переменные из входных переменных обращаясь к рис. 12.8 и учитывая возможность того, что делитель может быть асимметричным. Таким образом,

Тогда, если подчиняются коммутационным соотношениям

то из (12.12.4) мы получаем, что

где последняя строка получается в силу соотношений взаимности (12.12.1). Аналогичным образом мы находим, что

и

используя (12.12.1). Следовательно, (12.12.4) удовлетворяет всем требуемым коммутационным соотношениям, и мы можем считать их правильными соотношениями между входом и выходом.

Из (12.12.4) можно легко построить операторы числа фотонов и получить следующие формулы

Из них, в силу соотношений взаимности, сразу получаем соотношение

которое отражает сохранение фотонов между входами и выходами.