12.11.2. Коммутационные соотношения

Вычисление коммутатора где и обозначают две различные области пространства, полезно начать с изучения коммутатора одинаковыми временными аргументами. Здесь мы ограничимся для простоты одинаковыми временами. Более общий коммутатор вычисляется в работе (Mandel, 1966а). Из (12.11.1) и (12.11.2) имеем

Воспользуемся коммутационным соотношением (11.12.6) в виде

с тем, чтобы преобразовать интеграл в (12.11.4). Тогда получаем соотношение

где определяет центр объема Рассмотрим теперь суммирование по Наличие произведений в (12.11.6) означает, что основной вклад в сумму вносят те значения к, для которых

Как к, так и к являются волновыми векторами, соответствующими оптическим или еще более высоким частотам. Если все длины определяющие объем интегрирования, больше, чем оптические длины волн, то (12.11.7) в хорошем приближении означает равенство между . В таком случае основной вклад в сумму по в (12.11.6) будут вносить значения , близкие к k. Если мы положим в члене который медленно меняется при суммировании по к, то увидим, что этот член вносит небольшой вклад, так как Следовательно, выражение можно упростить и представить в виде

На этом этапе, как обычно, удобно заменить суммирование по интегралом

и ввести новую переменную интегрирования . Из-за наличия в (12.11.8) множителя, имеющего вид произведения, который жестко ограничивает вклады в интеграл малыми значениями мы можем фактически положить, что пределы интегрирования по являются бесконечными. Тогда имеем

Этот интеграл является трехмерной версией хорошо известного интеграла Дирихле (Bracewell, 1979, с. 99, 129), имеющего разрыв

Таким образом, (12.11.9) можно записать в виде

где означает, что лежит внутри объема У.

Этот результат совершенно аналогичен соответствующему коммутационному соотношению для -пространства

и предполагает, что играет роль оператора числа частиц, относящихся к объему в момент времени Однако, не следует забывать, что при выводе (12.11.11) мы использовали приближения. В частности, различие между точками внутри и снаружи объема становится слабым для точек, лежащих близко к границе У, на расстояниях порядка оптической длины волны. Осуществляя эрмитово сопряжение от (12.11.11), мы получаем следующий результат.

иначе.

С помощью этих результатов можно легко вычислить коммутатор от двух операторов в конфигурационном пространстве для числа частиц, связанных с двумя различными объемами Мы находим, что

где функция, которая равна единице или нулю, в зависимости от того, лежит ли внутри или снаружи У. Таким образом, коммутатор двух операторов в конфигурационном пространстве для числа фотонов обращается в нуль, по крайней мере, приблизительно, в полной аналогии с соответствующим результатом для -пространства, где мы имеем

безотносительно к тому, перекрываются ли эти два набора мод и или нет.