15.5.4. Спонтанное излучение

Мы вывели уравнения движения, связывающие различные динамические переменные. Чтобы получить физические следствия из этих уравнений, необходимо вычислить средние значения соответствующих переменных в рассматриваемом состоянии. Например, рассмотрим временную эволюцию системы, состоящей

из атома в некотором квантовом состоянии, описываемом оператором плотности и поля в вакуумном состоянии Это и есть задача спонтанного излучения. Оператор плотности полной системы факторизуется в виде

Кроме того,

поскольку есть фактически функция операторов Если воспользоваться этим соотношением для вычисления средних значений каждого члена в (15.5.25), то обнаружим, что вклад интеграла обращается в нуль и получим следующий результат

или, учитывая (15.1.16),

Таким образом, средняя энергия атома затухает экспоненциально во времени со скоростью что согласуется с (15.4.13).

Чтобы рассмотреть временную эволюцию поля, излучаемого атомом, вычислим в некоторой точке дальнего поля. Разлагая (15.5.8) на положительно- и отрицательно-частотные части, сразу находим, что

так как Взяв средние значения от обеих частей (15.5.24), используя (15.5.27) и отмечая, что интеграл в (15.5.24) опять не дает вклада, получаем соотношение

где есть, конечно, время распространения света от атома до точки Следовательно, средняя амплитуда электрического поля затухает экспоненциально со скоростью но частота поля не центрирована на частоте а смещена от со на величину лэмбовского сдвига 7. Первое подтверждение этому частотному сдвигу дали знаменитые эксперименты Лэмба и Резерфорда (Lamb and Reserford, 1947), которые определили, что частотный сдвиг между уровнями атома водорода равен

Конечно, строго говоря, не нужно полагаться на выражение (15.5.29) с целью получения спектра излучаемого света, поскольку может обратиться в нуль, да и в любом случае, среднее значение электрического поля обычно не измеряется в оптических экспериментах. Однако, можно определить спектр из корреляционной функции поля второго порядка. Если опять разложить (15.5.8) на его положительно-и отрицательно-частотные части, то найдем, что

где — полярный угол вектора а комплексный дипольный момент лежит в плоскости х,у. Теперь из (15.5.24), умножив на и взяв средние значения, сразу получим, что

Следовательно, корреляционная функция затухает экспоненциально по и она сдвинута относительно атомной частоты на величину лэмбовского сдвига 7. Конечно, корреляционная функция также зависит от так что процесс излучения не является стационарным. Однако после усреднения по различным атомам, находящимся в различных состояниях возбуждения в различные моменты времени, результирующее

поле может оказаться стационарным. Спектральная плотность соответствующая экспоненциальной корреляционной функции, задаваемой формулами (15.5.30) и (15.5.31), является лоренцевой

с шириной на полувысоте, равной 2/3. Кроме того, полагая в (15.5.30) и (15.5.31), получаем для средней интенсивности света следующее выражение:

Если атом первоначально полностью возбужден, то в то время как в остальных случаях значение этого множителя лежит между и 1. Предсказываемое изменение интенсивности флуоресцентного света при изменении возбуждения подтвердилось экспериментально (Gibbs, 1973). То же касается и экспоненциального закона затухания, проверенного в экспериментах на излучении -линии атома водорода (Wessner, Anderson and Robiscoe, 1972). Угловое распределение, определяемое множителем подобно распределению излучения классического осциллирующего диполя.