12.10.3. Моменты n

С помощью (12.10.8) или (12.10.11) мы можем легко связать моменты полного числа фотонов с моментами После вычисления производящей функции факториальных моментов от находим

Разложение в степенной ряд дает факториальные моменты сравнивая коэффициенты при в обеих частях уравнения, получаем

Этот результат справедлив для любого квантового состояния поля, поэтому в (12.11.13а) фактически подразумевается операторное равенство

В частности, когда или 2, имеем

Последнее соотношение особенно интересно, так как оно напоминает хорошо известную формулу, полученную Эйнштейном (Einstein, 1909) для флуктуации энергии при излучении черного тела (см. также Mandel, Sudarshan and Wolf, 1964). Он показал, что выражение для дисперсии можно представить в виде суммы двух слагаемых, которые можно, соответственно, трактовать как результаты флуктуаций классических частиц и классических волн. Таким образом, согласно Эйнштейну электромагнитное излучение представляется как странное сочетание частиц и волн. Интересно отметить, что подобная трактовка может быть дана и выражению (12.10.15), которое соблюдается в весьма общих случаях для любого состояния поля, поскольку первый член справа является дисперсией случайным образом флуктуирующих частиц,

тогда как второй член представляет дисперсию флуктуирующих волн. Но такую трактовку не следует распространять слишком далеко, ибо необязательно должна являться положительной величиной, как это имело бы место для классических волн. В качестве примера можно просто рассмотреть фоковское состояние поля, для которого число фотонов является определенным и, таким образом, Из (12.10.15) находим, что

Очевидно, что для фоковского состояния функция задаваемая выражением (12.10.10), не является неотрицательной. В более общем случае из (12.10.15) следует, что всегда, когда дисперсия числа фотонов меньше среднего значения, так что статистика фотонов является субпуассоновой, не может быть вероятностным функционалом, и состояние поля в таком случае является чисто квантово-механическим, не имеющим классического аналога. Представляется удобным характеризовать неклассическое состояние с помощью параметра который определяется формулой (Mandel, 1979)

Этот параметр становится отрицательным всегда, когда статистика является субпуассоновская. Для фоковского состояния параметр принимает наибольшее отрицательное значение, равное —1.

Несмотря на то, что общее число фотонов в бесконечной области пространства недоступно для непосредственного измерения, можно показать, что соотношения, весьма схожие с вышеприведенными, соблюдаются для числа фотонов в конечном объеме (Mandel, 1966а), если его линейные размеры являются большими по сравнению с длинами волн заполненных мод. Мы коротко обсудим эту проблему в разд. 12.11. Когда в гл. 14 мы займемся детальным рассмотрением проблемы фотоэлектрического счета фотонов, мы обнаружим, что фотоэлектрические щелчки также подчиняются распределению вероятности, очень похожему на (12.10.8). Таким образом, мы имеем дело с соотношениями довольно общей применимости. На практике с субпауссоновской статистикой исследователи впервые встретились в экспериментах по фотоэлектрическому счету для флуоресценции от отдельного атома (Short and Mandel, 1983).