Предположим, что оператор плотности 
на входе делителя пучка, изображенного на рис. 12.8, записан обычным образом в диагональном представлении по когерентным состояниям через две комплексные амплитуды входных мод 
Аналогичным образом, предполагаем, что оператор плотности 
на выходе можно записать в диагональном представлении через две комплексные амплитуды выходных мод 
Тогда состояние рвых правильным образом соответствует состоянию 
если для любой функции 
величин 
и сопряженных им выполняется
Так как, в принципе, любой оператор можно привести в нормальный порядок, мы ограничимся случаем, когда 
является нормально упорядоченной операторной функцией 
Тогда из операторных соотношений (12.12.4) следует, что если выразить 
через 
то оператор 
вновь будет в нормальном порядке.
Далее воспользуемся оптической теоремой эквивалентности для нормально упорядоченных операторов (см. разд. 11.9), в соответствии с которой имеем
В силу (12.12.22), интегралы в правой части этих соотношений должны быть равны. Совершая замену переменных
или
в последнем интеграле и замечая, что
сразу приходим к выражению
которое определяет выходное состояние через входное состояние.
В частности, если входное поле находится в чистом когерентном состоянии 
следовательно, 
Подставляя 
в (12.12.21) и выполняя замену переменных (12.12.25), мы сразу видим, что выходное состояние является двухмодовым когерентным состоянием
Когда входное состояние 
является чистым состоянием, имеющим вид линейной суперпозиции когерентных состояний
то, как мы видели в разд. 11.8, связанная с ним плотность 
фазовом пространстве становиться сильно сингулярной. Однако, используя (12.12.22), можно легко показать, что соответствующее выходное состояние 
является просто линейной суперпозицией выходных когерентных состояний
Учитывая, что комплексный множитель 
всегда связан с прохождением фотона через делитель пучка, а множитель 
связан с отражением фотона от него, часто можно записать выходное состояние непосредственно через входное состояние. Предположим, например, что делитель пучка — симметричный, и что вход представляет собой двухфотонное состояние 
соответствующее одному фотону, входящему на вход 
и еще одному — пришедшему на вход 1. Здесь существует четыре возможности. Если пропускаются оба фотона, то это приводит к выходному состоянию 
с комплексной амплитудой 
которую мы будем полагать действительной. Если оба фотона отражаются, то мы вновь получаем состояние 
с комплексной амплитудой 
Если один фотон отражается, а другой фотон пропускается, то мы имеем на выходе либо 
с комплексной амплитудой 
либо 
с комплексной амплитудой 
Из этого следует, что выход 
соответствующий входу 
является линейной суперпозицией
Множитель 
являющийся результатом интерференции, необходим для того, чтобы 
было нормировано на единицу. Отметим в подтверждение (12.12.15), что когда 
оба фотона всегда появляются вместе либо на выходе 2, либо на выходе 3, и никогда не реализуется случай, когда один — на выходе 2 и один — на выходе 3. Этот принцип используется для измерения с фемтосекундной точностью разделения во времени двух одинаковых волновых пакетов на входе (Hong, Ou and Mandel, 1987).
операторная функция выходных переменных и комплексно сопряженных им, то можно воспользоваться этими соотношениями для вычисления ожидаемого значения 
если перейти от 
Однако альтернативным способом является определение состояния на выходе делителя непосредственно через входное состояние. Разработаем теперь общую процедуру для решения данной задачи (Ou, Hong and Mandel, 1987).
