4.4. Распространение корреляций

В разд. 4.2.2 мы на простом примере продемонстрировали, что состояние когерентности света может существенно меняться в процессе его распространения. Точнее говоря, мы показали, что даже если свет излучается некоррелированными точечными источниками, то в точках, достаточно удаленных от источников, поле может быть сильно коррелированным. С точки зрения общей теории частичной когерентности,

такое изменение состояния когерентности обусловлено тем, что функция взаимной когерентности удовлетворяет двум законам распространения. В свободном пространстве они представляют собой два волновых уравнения. В этом разделе мы получим эти уравнения, а также два соответствующих дифференциальных уравнения для взаимной спектральной плотности.

4.4.1. Дифференциальные уравнения распространения взаимной когерентности и взаимной спектральной плотности в свободном пространстве

Пусть, как и ранее, выборочная функция действительного случайного процесса, характеризующего флуктуирующее световое возмущение в точке в момент времени Если в качестве выбрать декартову компоненту электрического поля или векторный потенциал, то в свободном пространстве она будет подчиняться волновому уравнению

(с — скорость света в вакууме). Нетрудно показать, что комплексный аналитический сигнал связанный с также подчиняется этому уравнению. Чтобы продемонстрировать это, представим в виде (обобщенного) интеграла Фурье

Осуществив фурье-преобразование уравнения (4.4.1), мы получим, что удовлетворяет уравнению Гельмгольца

где

Аналитический сигнал связанный с действительным полем мы получаем, опуская отрицательные частотные компоненты в правой части (4.4.2):

Действуя оператором на (4.4.5) и изменяя порядок различных операций, получаем

Из (4.4.3) следует, что интеграл в правой части полученного выражения обращается в нуль. Следовательно, в свободном пространстве комплексное возмущение действительно удовлетворяет волновому уравнению

Теперь осуществим комплексное сопряжение (4.4.7) и заменим на соответственно:

где лапласиан по координатам точки Далее умножим обе части (4.4.8) на Поскольку дифференцирование в (4.4.8) производится по переменным функцию можно внести под знак оператора, и мы получим уравнение

Возьмем среднее (по ансамблю) от выражения (4.4.9) по всем различным реализациям поля. Если мы поменяем порядок операций усреднения и дифференцирования, а также вспомним определение корреляционной функции второго порядка (4.3.6), то в результате получим уравнение

Совершенно аналогичным образом получим

где лапласиан по координатам точки Таким образом, мы установили, что в свободном пространстве корреляционная функция второго порядка оптического поля удовлетворяет волновым уравнениям

Теперь предположим, что ансамбль, характеризующий статистические свойства поля, является стационарным, по крайней мере, в широком смысле, и эргодичным. Тогда корреляционная функция зависит от двух временных переменных только через их разность Более того, в этом случае несущественно, каким образом определена корреляционная функция, — через усреднение по ансамблю или через усреднение по времени. Очевидно также, что операторы в уравнениях (4.4.10) можно заменить на Таким образом, уравнения (4.4.10) переходят в следующие два волновых уравнения, которым удовлетворяет функция взаимной когерентности поля в свободном пространстве:

Впервые эти волновые уравнения были получены Вольфом

Каждое из уравнений (4.4.11) описывает изменение функции взаимной когерентности, когда одна из точек или фиксирована, а другая точка и параметр меняются. Величина представляет собой разность между двумя моментами времени, в которые рассматривается корреляция между световыми колебаниями в точках В экспериментах входит в выражения только как разность хода [см. рис. 4.6 и выражение (4.3.2а)]. Само время, таким образом, исключено из основных формул теории когерентности стационарных полей.

Ранее мы отмечали, что пространственная когерентность характеризуется зависимостью функции взаимной когерентности от тогда как временная когерентность характеризуется зависимостью от Поскольку уравнения (4.4.11) связывают между собой зависимости от всех переменных очевидно, что в общем случае эффекты пространственной и временной когерентности нельзя разделить. Хорошим примером этой взаимосвязи является тот факт, что свет, излучаемый пространственно некогерентным источником, становится частично-когерентным в процессе распространения (см. разд. 4.2.2, рис. 4.3). Элементарное объяснение этому явлению было дано нами на основе конечных волновых цугов, излучаемых различными точками источника. Конечная длительность волновых цугов означает, что излучаемый свет имеет конечную, ненулевую ширину полосы и, следовательно, обладает некоторой временной когерентностью. Поскольку уравнения (4.4.11) подразумевают наличие связи между временной и пространственной когерентностью, последняя может возникать в поле от пространственно некогерентного источника. Волновые уравнения (4.4.11) позволяют дать количественный анализ этого явления. Более подробно оно будет рассмотрено в разд. 4.4.2-4.4.5.

Взаимная спектральная плотность является фурье-образом функции взаимной когерентности [(4.3.406)]. Поэтому, осуществив фурье-преобразование уравнений (4.4.11), мы сразу же получаем следующие уравнения Гельмгольца, которым удовлетворяет в свободном пространстве:

где

Очевидно, что задача определения функции взаимной когерентности и взаимной спектральной плотности в любых двух точках области свободного пространства, ограниченной замкнутой поверхностью, сводится теперь к решению стандартной задачи теории дифференциальных уравнений в частных производных. Техника вычислений, как точных, так и приближенных, для такого ряда задач хорошо известна. Мы рассмотрим здесь только две задачи такого рода, представляющие практический интерес.