18.3.3. Аналогия с фазовым переходом для флуктуирующего лазерного поля

Несмотря на то, что распределение вероятности интенсивности лазерного света меняется непрерывно по мере перехода рабочей точки лазера из области ниже порога в область выше порога, электромагнитное поле все еще испытывает фазовый переход на пороге. Однако, в отличие от ситуации, с которой мы сталкивались в разд. 18.2, ни средняя амплитуда поля ни средняя интенсивность не являются теперь подходящими параметрами порядка, поскольку оба не равны нулю при любых значениях параметра накачки а.

Для того, чтобы определить подходящий параметр порядка, удобно рассмотреть потенциальную функцию задаваемую формулой (18.3.13), которая была введена для описания Данный потенциал, как функция от показан на рис. 18.9а при отрицательном, нулевом и положительном значении параметра накачки а. Из (18.3.14) ясно видно, что имеется взаимнооднозначное соответствие между вероятностью и потенциалом такое, что наиболее вероятное значение всегда соответствует наименьшему значению потенциала

Рис. 18.9. Зависимость потенциала от абсолютной амплитуды поля и от интенсивности при различных значениях параметра накачки: ниже порога на пороге и выше порога

Тогда из рис. 18.9а сразу следует, что до тех пор, пока лазер работает ниже порога или на пороге, и , наиболее вероятной является амплитуда поля равная нулю. Однако, как только порог превышается, и наиболее вероятным значением становится Таким образом, наиболее вероятное значение амплитуды поля становится ненулевым при прохождении порога и является естественным параметром порядка для фазового перехода. Можно дать равносильное описание фазового перехода через интенсивность света Введем потенциал записывая (18.3.17) в виде

Форма потенциала показана на рис. 18.96 при трех различных значениях параметра накачки а. Наиболее вероятное значение интенсивности света опять соответствует наименьшему значению потенциала, которое, как видно, равно нулю ниже или на пороге и не равно нулю, а равно а только выше порога. Следовательно, наиболее вероятная интенсивность света также может служить параметром порядка для фазового перехода.

В теории Ландау фазовых переходов принято раскладывать термодинамический потенциал в области фазового перехода по степеням параметра порядка (Haken, 1977, гл. 6; Landau and Lifshitz, 1980). Коэффициенты разложения, некоторые из которых по соображениям симметрии обращаются в нуль, являются, обычно, функциями температуры. Если подставить в потенциал надлежащее значение параметра порядка при каждой температуре, то, как правило, можно обнаружить, что некоторые производные потенциала имеют точки разрыва как функции температуры. Эти точки разрыва определяют порядок фазового перехода.

Мы можем применить аналогичную процедуру к потенциалу, задаваемому формулой (18.3.22). Будем считать аналогом термодинамического потенциала, а взятую с обратным знаком величину параметра накачки а — аналогом температуры. Тогда, наиболее вероятное значение интенсивности света как мы только что видели, является параметром порядка и задается соотношениями

Если подставить вместо то получим наиболее вероятное значение потенциала

вид которого показан на рис. 18.10. Он имеет непрерывную первую производную, но его вторая производная терпит разрыв на пороге Мы можем также построить величину, которая является аналогом термодинамической энтропии несмотря на то, что лазер не является системой, находящейся в состоянии теплового равновесия, записывая

Рис. 18.10. Зависимость наиболее вероятного значения потенциала и энтропии от параметра накачки а

С помощью (18.3.22) и (18.3.23) сразу находим

т.е. в данном случае оказывается равной производной от Вид функции также показан на рис. 18.10. Она непрерывна в точке фазового перехода, но ее производная терпит разрыв. Таким образом, лазер испытывает на пороге непрерывный или фазовый переход второго рода. Дискретный или фазовый переход первого рода, был бы связан с разрывом энтропии и с менее гладким наиболее вероятным потенциалом. В гл. 19 мы увидим, что двухмодовый лазер, при определенных условиях может проявлять фазовый переход первого рода вследствие эффектов конкуренции между модами. Потенциал или иногда определяется так, что в него включается константа нормировки для распределения вероятности. Ясно, что это не влияет на его зависимость от интенсивности света положения максимумов, минимумов или точек разрыва. Энтропия изменяется в пределах добавочной, гладкой функции от а. Но, разрывы энтропии или ее производные остаются неизменными.