19.5. Зависящее от времени решение в более общем случае взаимодействия между модами ...

До сих пор, имея дело с зависящим от времени решением лазерной задачи, мы ограничивались случаем, когда и имеется симметрия Это соответствует симметричному, неоднородно уширенному кольцевому лазеру в условиях резонанса. Сейчас мы кратко рассмотрим более общий случай, когда может быть больше или меньше единицы, и отсутствует симметрия. Хотя самосопряженное дифференциальное уравнение (19.4.6), по-прежнему, имеет силу, отдельные уравнения (19.4.14) и (19.4.15), полученные из него, больше не действительны. Однако вводя для комплексных амплитуд двух мод полярные координаты

и разлагая как и прежде, на множители

можно показать, что радиальная часть решения удовлетворяет уравнению (Hioe and Singh, 1981)

«Потенциал» V (71,72) задается выражением

Данное уравнение опять имеет вид уравнения Шредингера, хотя оно является уравнением двух переменных. Как обычно, возможные решения уравнения целиком определяются поведением потенциала в области его минимумов. Если потенциал хорошо аппроксимируется квадратичной функцией в окрестности каждого минимума, то, как показали Хиое и Сингх (Hioe and Singh, 1981), можно получить аналитические решения. Им удалось получить приближенные аналитические выражения как для собственных значений, так и для собственных функций из (19.5.2), которые справедливы как существенно ниже, так и существенно выше порога. Мы не будем здесь рассматривать детали их решения.

19.5.1. Переключение мод и времена первого прохождения

Наиболее интересные свойства решения обнаруживаются тогда, когда константа связи в частности, когда как в случае однородно уширенного двухмодового лазера. В этом случае, при условии, что шредингеровский потенциал V (71,72) имеет четыре минимума, два из которых связаны с нулевыми собственными значениями и, следовательно, со стационарным решением. Они приводят к наличию двух пиков у стационарных распределений вероятности интенсивностей каждой моды, как мы уже видели в разд. 19.2. Каждый пик соответствует метастабильному состоянию, и время от времени лазер переключается от одного метастабильного состояния, в котором интенсивность одной моды равна нулю, к другому, в котором обращается в нуль интенсивность второй моды. Скорость переключения определяется двумя наименьшими ненулевыми собственными значениями Аюоо и которые намного меньше остальных. Если высшие собственные значения определяют приближение системы к тому или иному локальному, метастабильному состоянию равновесия, то два наименьших ненулевых собственных значения определяют скорость перехода или переключения между этими метастабильными состояниями. Действительно, при наличии симметрии, когда все высшие собственные значения расщепляются на величину, равную интервалу между двумя низшими собственными значениями. Аналогичное расщепление энергетических уровней в присутствии двойной потенциальной ямы хорошо известно в квантовой механике. В случае находим

Это собственное значение определяет скорость переключения лазера между его метастабильными состояниями.

Рис. 19.23. Осциллограммы, иллюстрирующие одновременные изменения интенсивностей двух мод кольцевого лазера на красителе (Mandel, Roy and Singh, 1981)

Такое переключение мод в однородно уширенных двухмодовых лазерах наблюдалось экспериментально (Rigrod and Bridges, 1965). На рис. 19.23 показаны осциллограммы временного развития интенсивностей двух мод кольцевого лазера на красителе. Видно, что интенсивность света каждой моды включается и выключается случайным образом, и что, как только одна мода включается, другая мода выключается, и наоборот. Очевидно, что интенсивности двух мод строго антикоррелированы, что следует уже из рис. 19.8.

Можно оценить скорость переключения мод другим способом, используя формализм времени первого прохождения в фазовом пространстве (см., например, Stratonovich, 1963; а также Weiss, 1977), который приводит к значениям, подобным (19.5.4) (Singh and Mandel, 1979; Lenstra and Singh, 1983; Shenoy and Agarwal, 1984). По форме стационарного решения, которая иллюстрируется графиком потенциала на рис. 19.12, ясно видно, что изображающая точка в фазовом пространстве, характеризующая мгновенное состояние, проводит большую часть своего времени около какого-то минимума потенциала: или около или около Однако, время от времени достаточно большая флуктуация вызывает переход изображающей точки из окрестности одного минимума в окрестность другого, что проявляется в переключении, изображенном на рис. 19.23. Хотя точная траектория между минимумами в фазовом пространстве не рассчитывается, она, наиболее вероятно, проходит по впадине через седловую точку. Следовательно, движение в фазовом пространстве в первом приближении можно рассматривать как одномерное. Это позволяет получить грубую оценку среднего времени, которое необходимо для перемещения из одного метастабильного состояния в другое, используя формализм времен первых прохождений в одном измерении.

Для того, чтобы это понять, рассмотрим кривую, обозначенную через на рис. 19.13, которая задает форму потенциала отвечающую стационарному решению для одной моды лазера. Если изображающая точка лежит около минимума так что эта мода выключена, то можно считать, что первое прохождение во включенное состояние произойдет тогда, когда изображающая точка сначала пересечет максимум потенциала, после чего быстро упадет во впадину в точку

В общем случае предположим, что значение делит одномерное фазовое пространство на две области и что первое прохождение происходит тогда, когда изображающая точка, начиная от в момент сначала покидает и пересекает Пусть есть время, необходимое для первого прохождения. В общем случае является случайной переменной, имеющей некоторое распределение вероятности зависящее от Мы сейчас покажем, что интеграл от связан с функцией Грина одномерного случайного процесса и удовлетворяет обращенному уравнению Фоккера — Планка или уравнению Колмогорова.

Для демонстрации этого введем интегральное распределение времени первого прохождения

дающее вероятность того, что время первого прохождения меньше Согласно определению подчиняется закону композиции

Это лишь отражает тот факт, что является вероятностью перехода от к соседнему значению V за некоторый короткий интервал которая умножается на вероятность того, что время первого прохождения из V не превышает и затем интегрируется относительно V по области Сделаем далее замену переменных, полагая и разлагая в ряд Тейлора по в окрестности

Вычитая из обеих частей выражения, деля на и переходя к пределу приходим к уравнению

где являются обычными коэффициентами дрейфа и диффузии, которые определяются формулами

Как обычно, предположим, что высшие моменты обращаются в нуль. Данное дифференциальное уравнение есть сопряженное обычному уравнению Фоккера — Планка и называется обращенным уравнением Фоккера — Планка или уравнением Колмогорова. Поскольку есть распределение вероятности можно получить уравнение для среднего времени первого прохождения

дифференцируя каждое слагаемое в (19.5.7) по умножая на и интегрируя по всем В результате находим, что

После интегрирования по частям левая часть сводится к

так что

Это есть обыкновенное дифференциальное уравнение по которое можно проинтегрировать. Общее решение имеет вид

где константы, и

есть тот же потенциал, который входит в стационарное решение для интенсивности одной лазерной моды [см. (19.3.16)]. Интегрируя двухмодовое уравнение Фоккера — Планка (19.1.17) по всем переменным помимо легко показать (Singh and Mandel, 1979), что одномерная константа диффузии Граничные условия

позволяют вычислить константы в (19.5.9). Окончательно, для среднего времени первого прохождения , соответствующего переходу из выключенного состояния во включенное состояние, получаем выражение

Аналогично, если система находится первоначально во включенном состоянии с то среднее время первого прохождения задается формулой

Вычисление этих интегралов намного упрощается, благодаря двухпиковой форме выше порога.

В области функция имеет заметные значения только в окрестности точки в области только в окрестности точки В обоих случаях очень мала вблизи границы Следовательно, основной вклад в интегралы по V в формулах (19.5.11) и (19.5.12) дают значения V, близкие к при которых интегралы по почти не зависят от V и их можно заменить величинами

Здесь вероятности найти интенсивность света «низкой» или «высокой», так что

Используя (19.3.16) для и асимптотический вид функции ошибок при больших аргументах, можно показать, что

и, в случае малой асимметрии, что

где Интегралы по V в формулах (19.5.1) и (19.5.12) можно вычислить приближенно, учитывая, что в окрестности точки функция ведет себя почти как гауссовское распределение по V, центрированное в точке Если еще аппроксимировать функцию ее значением на гауссовском пике, то можно сразу записать интегралы по Окончательно, приходим к результату (Roy, Short, Durnin and Mandel, 1980)

где есть точка максимума потенциала Дифференцируя выражение (19.3.166) для потенциала, можно показать, что

Выражение для имеет такой же вид, только заменяется величиной В частном случае: который имеет силу для однородно уширенного, симметричного кольцевого лазера, приближенно получаем

Это выражение можно сравнить с (19.5.4) для наименьшего собственного значения в случае

Оба выражения имеют одинаковую структуру, хотя и различаются в деталях.

Нужно отметить, что среднее время, определяемое выражением (19.5.17), должно быть удвоено (Lenstra and Singh, 1983), поскольку как только изображающая точка достигает границы, она почти с равной вероятностью может упасть как обратно в первую потенциальную яму, так и в другую. Кроме того, мы получили решение, рассматривая развитие во времени интенсивности только одной моды, тогда как изображающая точка в действительности движется по трехмерной поверхности, изображенной на рис. 19.12. Более реалистическое рассмотрение задачи времени первого прохождения (Shenoy and Agarwal, 1984) приводит к значению, которое в шесть раз больше значения (19.5.17).

Рис. 19.24. Сравнение теоретической и экспериментальной зависимостей среднего времени первого прохождения (Твыкл) от параметра накачки а. Шкала справа показывает значения времени в секундах (Roy, Short, Durnin and Mandel, 1980)

Из-за экспоненциального множителя в (19.5.17) среднее время первого прохождения становится очень большим при увеличении параметра накачки. Сплошная кривая на рис. 19.24 есть график (Твыкл) как функции от а при Видно, что (Твыкл) увеличивается на четыре порядка при небольшом увеличении а от 4 до 12. Причина этого в том, что высота максимума потенциала в точке становится все больше и больше при увеличении а, так что требуются все большие флуктуации, чтобы вызвать переход из одного метастабильного состояния в другое. Излишне говорить, что чем больше флуктуации, тем реже они появляются, так что при достаточно больших значениях параметра накачки значения (Твкл) и (Твыкл) становятся настолько большими, что лазер может казаться стабильным. Эти времена переключения или времена первого прохождения были измерены у однородно уширенного двухмодового кольцевого лазера на красителе (Roy, Short, Durnin and Mandel, 1980). Как показано на рис. 19.24, после скэйлинга получается удовлетворительное согласие теории с экспериментом.