Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Определения

Понятие вероятности является важным для оптики, как и для любой другой области, где результат данного опыта или измерения не является однозначным. В этих условиях желательно ввести некоторую меру, характеризующую степень правдоподобия возможной реализации какого-либо результата или события. Такая мера называется вероятностью события.

В прошлом существовали различные определения вероятности. Классическое определение основано на исчерпывающем перечислении возможных результатов эксперимента или испытания. Если испытание имеет различных взаимоисключающих результатов, появление которых равновероятно, и если из этих возможных результатов мы рассматриваем как «успех», тогда вероятность успеха в любом одиночном испытании определяется отношением Например, если мы бросаем игральную кость, и если каждая из шести цифр имеет равную возможность оказаться наверху, когда кость остановится, то имеется различных исходов. Если успехом мы считаем появление, например, четного числа, то, поскольку есть три различных варианта достижения этого успеха, его вероятность при выбрасывании кости определяется как К сожалению, исчерпывающее перечисление всех возможных результатов не всегда осуществимо.

Другое общее определение вероятности основано на понятии относительной частоты успеха. Если в большом числе из независимых испытаний успешный результат появляется раз, то тогда относительная частота успеха равна Когда становится очень большим, мы называем это отношение вероятностью успеха в любом одиночном испытании. Однако в математическом смысле не имеет предела при

Напротив, понятие вероятности может быть введено аксиоматическим путем, при котором мы просто связываем меры называемые вероятностями, со всеми возможными результатами или событиями в испытании. Если полное пространство событий обозначить как то тогда и т.д. Удобно ввести следующие обозначения, которые иллюстрируются диаграммами Венна на рис. 1.1:

Рис. 1.1. Диаграммы Венна для определенных комбинаций событий Заштрихованная область означает: а - А или В или оба; б - как А, так и В; в - не А; г - А, но не В

означает комбинацию или объединение двух событий под которым подразумевается А или В или оба события (см. рис. 1.1а);

означает пересечение двух событий которое подразумевает как А, так и В (см. рис. 1.16);

означает дополнение события А, которое подразумевает отсутствие А (см. рис. 1.1 в);

означает пересечение события А с дополнением события В, под которым подразумевается наличие события А, но не В (см. рис. 1.1 г). Не существующее событие является дополнением множества Во всех случаях обозначение справа является привычным в теории вероятностей, а обозначение слева является обычным в теории множеств. Рис. 1.1 а-г иллюстрируют понятия объединения двух событий, пересечение двух событий и т.д. геометрически. Два события являются несовместимыми и взаимоисключающими, если они не перекрываются вообще или пересечением этих двух событий является несуществующее событие 0. Следующие три аксиомы используются для определения свойств вероятности данного события:

Выражение (1.1.2) может быть интерпретировано в том смысле, что вероятность достоверного результата равна 1. Так как являются взаимоисключающими, то из выражения (1.1.3) следует, что и из выражений (1.1.1) и (1.1.2) следует, что

Таким образом, любая вероятность принимает значения в области от нуля до единицы.