12.9.2. Замена дифференциальными операторами
Рассмотрим другую процедуру, позволяющую заменить операторы рождения и уничтожения, стоящие под знаком интеграла в (12.9.13), дифференциальными операторами (Louisell, 1969). Сперва отметим, что произведение полевых операторов под знаком интеграла имеет общий вид
где 
обозначения для мод 
коэффициенты, которые в общем случае зависят от пространственных и временных параметров. Верхний индекс 
подчеркивает, что функционал находится в антинормальном порядке. Кроме того, вспомним, что когерентное состояние можно рассматривать, в соответствии с (11.3.1), как смещенное вакуумное состояние и, таким образом, можно записать для проекционного оператора по когерентным состояниям
Следовательно, произведение и может быть формально записано в виде
где 
обозначает частное дифференцирование по 
является независимой переменной. Из выражения (12.9.16) видно, что можно исключить оператор в гильбертовом пространстве, заменяя его дифференциальным оператором 
когда он стоит слева от проекционного оператора 
Таким же образом мы можем показать, что
т. е. оператор уничтожения 
стоящий справа от можно заменить дифференциальным оператором 
Эти результаты легко объединяются, так что имеем, например
Используя формулы (12.9.16) и (12.9.17) для определения ожидаемого значения 
задаваемого выражением (12.9.14), приходим к формуле
где последняя строчка получается из предыдущей после циклической перестановки операторов под знаком следа. Таким образом, нам удалось исключить под знаком интеграла все операторы в гильбертовом пространстве (кроме проекционного оператора 
Выполняя интегрирование по частям, мы, как правило, можем переместить дифференциальные операторы от проекционного оператора к весовому функционалу, после чего след сводится к обычному интегралу от с-числовых функций. Эта процедура редко используется для непосредственного вычисления корреляционной функции. Однако далее, при приведении основного операторного кинетического уравнения движения взаимодействующего поля к дифференциальному уравнению, это окажется полезным (см. разд. 18.5).
