2.4.3. Нормированные корреляции и нормированные спектральные плотности

Иногда бывает удобно ввести нормированную автокорреляционную функцию и нормированную спектральную плотность для случайного процесса (Davenport and Root, 1958, гл. 4 и 6). При мы определяем по формуле

Очевидно, что В силу неравенства (2.3.3) имеем

Вычитая в определении мы гарантируем, что при когда случайный процесс является эргодическим, поскольку должна стремится к при ослаблении корреляций. Как

было определено, математически эквивалентна характеристической функции, и ее фурье-образ известный как нормированная спектральная плотность, имеет свойства настоящей плотности вероятности. Следовательно, имеем

Используя в (2.4.26) определение можно непосредственно связать с ненормированной плотностью и найти

Заметим, что при неравном нулю среднем сингулярность в исчезает. Следовательно, является непрерывной функцией от для эргодического процесса независимо от того, является ли процесс с нулевым или с ненулевым средним.

Так как абсолютно интегрируема для эргодического случайного процесса [см. (2.2.14)], площадь под кривой всегда конечна и является удобной мерой области существования корреляций во времени. Следовательно, можно определить время корреляции для случайного процесса

По теореме Парсеваля, связывающей комплексно сопряженные фурье-образы определяется формулой

Величина, обратная является удобной мерой ширины

Можно ввести другие меры времени когерентности и ширины когерентности (например, основанные на временных моментах относительно функции корреляции, или на частотных моментах относительно спектральной плотности). Некоторые из них рассматриваются в разд. 4.3.3 в связи со свойствами корреляции оптического поля.