5.7.4. Модель переноса энергии излучения

Теория переноса энергии излучения представляет собой обобщение радиометрии, которую мы обсудили в предыдущих разделах. Простая радиометрическая модель (5.7.36) для скорости, с которой энергия излучается из элемента плоского источника, становится более расширенной в том смысле, что энергетическая яркость обобщается на величину поля. Элементом поверхности может быть любая часть (вообще говоря, фиктивной) поверхности в области пространства, в котором находится излучение. Тогда, вместо яркости, обычно говорят о плотности потока излучения. Мы будем обозначать плотность потока как где означает радиус-вектор элемента означает единичный вектор, задающий направление. В соответствии с моделью переноса излучения можно считать, что энергия передается через элемент поверхности вдоль пучка света. Предполагается, что скорость которой переносится в стационарном поле энергия на частоте через в элемент телесного угла в направлении равна

где — угол между единичным вектором и единичным вектором нормали к элементу (см. рис. 5.27). В частном случае, когда совпадает с элементом плоской излучающей поверхности, плотность потока переходит в яркость и формула (5.7.80) сводится к основному радиометрическому закону (5.7.36). Поскольку согласно (5.7.80) удельная интенсивность представляет собой скорость, с которой передается энергия на частоте через единицу спроецированной площади (проекция на плоскость перпендикулярную к в единицу телесного угла, необходимо, чтобы она была неотрицательной, т.е.

для всех значений аргументов.

В феноменологической теории переноса энергии излучения обычно вводят две другие основные величины, которые выражаются через плотность потока: так называемая пространственная плотность излучения, и результирующий поток в точке на частоте Они определяются формулами (Planck, 1959, разд. 22; Chandrasekhar, 1960, разд. 2.2 и 2.3)

В уравнении (5.7.82) с означает скорость света в вакууме, а интегрирование в (5.7.82) и (5.7.83) распространяется на полный телесный угол соответствующий всевозможным направлениям единичного вектора Вообще говоря, считается само собой разумеющимся, что пространственную плотность излучения можно определить как среднее значение плотности энергии и как среднее значение вектора плотности потока энергии в точке на частоте

Рис. 5.27. Иллюстрация обозначений, относящихся к определению (5.7.80) плотности потока излучения

Рис. 5.28. Иллюстрация смысла некоторых символов в (5.7.86)

Элементарные рассуждения, в основе которых лежат только простые геометрические аргументы, касающиеся закона сохранения энергии, приводят к интегро-дифференциальному уравнению для распространения плотности потока в любой изотропной среде, которое известно как уравнение переноса энергии излучения. Это уравнение можно записать в виде (Hopf, 1934, разд. 2)

Функции известны как коэффициент затухания, коэффициент дифференциального рассеяния и функция источника, соответственно. Левая часть уравнения (5.7.84) представляет собой скорость изменения плотности потока в направлении В правой части первый член — скорость уменьшения энергии, вследствие поглощения в направлении вектора второй член (при интегрировании по телесному углу представляет собой скорость увеличения энергии в направлении вектора из-за рассеяния изо всех направлений, а последний член представляет собой скорость, с которой энергия генерируется источниками поля.

Несмотря на широкое использование теории переноса энергии излучения, до сих пор не было получено на основе электромагнитной теории или на основе скалярной волновой теории удовлетворительного вывода ее основного уравнения (5.7.84), за исключением некоторых частных случаев.

Имеет смысл рассмотреть решения уравнения (5.7.84) для двух частных случаев. Когда рассеянием можно пренебречь и нет источников уравнение сводится к

Из этого уравнения следует, что удельная интенсивность в любой точке связанной с точкой вектором в направлении соотносится с удельной интенсивностью в точке о по формуле

где интегрирование берется вдоль линии, соединяющей [см. рис. 5.28]. Формула (5.7.86) известна как закон Бэра.

В свободном пространстве уравнение для переноса энергии излучения принимает простой вид

Вскоре будет показано, что уравнение (5.7.87) можно рассматривать как основное уравнение радиометрии в свободном пространстве. Из него следует, что вдоль линии в направлении вектора соединяющей две точки имеем

Таким образом, в свободном пространстве плотность потока является постоянной вдоль луча.