8.3. Пространственно-частотные корреляционные функции произвольного порядка

Корреляционные функции, которые мы обсуждали в двух предыдущих разделах, характеризуют корреляции поля в пространственно-временной области. Теперь обратим наше внимание на корреляции в пространственно-частотной области.

Рассмотрим вновь флуктуирующее скалярное поле, представленное аналитическим сигналом которое не обязательно стационарно, и представим его в виде интеграла Фурье:

Если мы подставим (8.3.1) в (8.2.3), то получим для выражение

где

Мы будем называть определенную выражением (8.3.3), взаимной спектральной корреляционной функцией порядка поля в точках

Если мы выполним обратное преобразование Фурье выражения (8.3.2), то получим следующее выражение для взаимной спектральной корреляционной функции через пространственно-временную корреляционную функцию

Предположим далее, что ансамбль, представляющий флуктуирующее поле, стационарен. Тогда пространственно-временная корреляционная функция будет инвариантна по отношению к переносу начала отсчета времени. В частности, если, как раньше, мы положим

то будет независима от Тогда мы получим

Подставляя (8.3.6) в многократный интеграл в правой части (8.3.4) и проводя (тривиальное) интегрирование по мы получим следующее выражение для взаимной спектральной корреляционной функции

где дельта-функция Дирака и

Мы неявно предположили при выводе, что Если то первый сомножитель (с индексом в правой части (8.3.8) следует заменить единицей.

Выражения (8.3.3) и (8.3.7) означают, что любые (обобщенных) фурье-компонент стационарного случайного поля -коррелированны в том смысле, что взаимная спектральная корреляционная функция

если только не

Когда частот удовлетворяют уравнению (8.3.10), компоненты будут в общем случае кор-релированы, и их корреляция будет характеризоваться функцией

Исключим из выражений (8.3.3) и (8.3.7). Тогда мы получаем

Эта формула, которая, очевидно, является обобщением выражения (4.3.39) (относящегося к случаю может рассматриваться как определение функции взаимной спектральной плотности порядка стационарного оптического поля

Если мы выполним преобразование Фурье выражения (8.3.8) по частотам то получим следующее выражение для через

Пара формул (8.3.8) и (8.3.12) для корреляций высшего порядка аналогична обобщенной теореме Винера - Хинчина и (2.4.38)].

Покажем, что когда свет квазимонохроматичен, имеет нулевое значение при если только не большие числа. Из (8.3.7) следует, что для того, чтобы спектральная корреляция порядка была ненулевой, должно выполняться условие (8.3.10). Для квазимонохроматического света обобщенные амплитуды Фурье [см. (8.3.1)] значительно отличаются от нуля только тогда, когда заключены в интервале где средняя частота и эффективная ширина полосы света. Если мы положим

то

В силу того, что из (8.3.14а) следует, что

а из (8.3.146) следует, что

Если теперь частот, которые удовлетворяют требованию (8.3.10), то из неравенств (8.3.15) получаем

Следовательно,

Ясно, что для квазимонохроматического света это неравенство может выполняться лишь тогда, когда либо либо как так и велики по сравнению с единицей. Отсюда мы заключаем, что для квазимонохроматического света и, следовательно, могут быть не равны нулю только при этих обстоятельствах.